Критерий Лемана-Розенблатта

Материал из MachineLearning.

Критерий Лемана-Розенблатта (Lehmann-Rosenblatt) — двухвыборочный непараметрический критерий согласия, похожий на Критерий омега-квадрат.

Другие названия: критерий Розенблатта (Rosenblatt).

Содержание

[убрать]

1 Примеры задач
2 Описание критерия
3 Литература
4 Ссылки

Примеры задач

Задача - проверить сходство уровней интеллекта среди мужчин и женщин по двум выборкам измерений IQ.

Описание критерия

Заданы две выборки $x^n = (x_1,\ldots,x_n),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}.$

Дополнительные предположения:

обе выборки простые, объединённая выборка независима;
выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений $F(x)$ и $G(x)$ соответственно.

Нулевая гипотеза $H_0:\; F(x)=G(x)$ при всех $x$ .

Альтернативная гипотеза $H_1:\; G(x)\ne F(x)$ при некотором $x$ .

Критерий Лемана-Розенблатта применяется для проверки гипотезы однородности $H_0$ против альтернативы неоднородности $H_1$ .

Статистика критерия:

$\omega^2_{n,m}=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left[\hat{F}_n(x) - \hat{G}_m(x)\right]^2d\hat{H}_{n+m}(x),$

где $\hat{F}_n(x)$ , $\hat{G}_m(x)$ - эмпирические функции распределения выборок, а $\hat{H}_{n+m}(x)\;=\;\frac{n}{n+m}\hat{F}_n(x)+\frac{m}{n+m}\hat{G}_m(x)$ - эмпирическая функция, построенная по объединённой выборке $\left( x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m\right)$ .

Согласно [2, стр 86] значение статистики зависит лишь от рангов элементов выборки:

$\omega^2_{n,m}\;=\;\frac{1}{nm}\left[1/6+\frac{1}{m}\sum_{i=1}^n\left(R_i-i\right)^2+\frac{1}{n}\sum_{j=1}^m\left(S_j-j\right)^2\right]-2/3,$

где $R_i$ - ранг $x_{(i)}$ , а $S_j$ - ранг $y_{(j)}$ в объединённом вариационном ряде двух выборок.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

При выполнении гипотезы $H_0$ , а также при условии, что

$\lim\limits_{ n,m \to \infty} n/(n+m)=\gamma \in (0,1),$

закон распределения $\frac{nm}{n+m}\omega^2_{n,m}$ стремится к предельному закону $A_1$ (М.Розенблатт, 1952 г.), приведённому в [2, стр. 83]. Здесь мы приведём лишь таблицу некоторых квантилей $z_{1-\alpha}$ этого закона:

$\alpha$	0.5	0.15	0.1	0.05	0.025	0.01	0.001
$z_{1-\alpha}$	0.12	0.28	0.35	0.46	0.58	0.74	1.17

Критерий имеет правостороннюю критическую область и при попадании значения статистики $\frac{nm}{n+m}\omega^2_{n,m}$ в полуинтервал $\Omega_{\alpha}=(z_{1-\alpha},\infty)$ гипотеза $H_0$ отвергается.

Малый размер выборок:

Использование нормированной и центрированной статистики

$Z=(\frac{nm}{n+m}\omega^2_{n,m}-M)/\sqrt{45D}+1/6,$

где

$M=\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n+m}\right),$
$D=\frac{1}{45}\left(1+\frac{1}{n+m}\right)\left[1+\frac{1}{n+m}-\frac{3}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right)\right],$

обеспечивает удовлетворительную точность приближения критических значений уже при $n,m \geq 7$ .

Литература

Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 2009.
Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. —М. Наука. 1983.
Lehmann E.L. Consistency and unbiasedness of certain nonparametric tests / Ann. Math. Statist. – 1951. V.22. № 1. – P.165-179.
Rosenblatt M. Limit theorems associated with variants of the von Mises statistic // Ann. Math. Statist. – 1952. V.23. – P.617-623.