Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2009

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 13:15, 19 ноября 2009

Содержание

1 Задание 1. Исследование статистических критериев на модельных данных
- 1.1 Пример выполнения задания
- 1.2 Индивидуальные параметры задания
2 Задание 2. Анализ реальных данных
3 Задание 3. Написание или доработка wiki-статей

Задание 1. Исследование статистических критериев на модельных данных

Необходимо провести исследование одного из классических критериев проверки статистических гипотез. Интерес представляет поведение достигаемого уровня значимости (p-value) как функции размера выборок и параметров распределения. В соответствии с индивидуальными параметрами задания необходимо сгенерировать одну или несколько выборок из указанного распределения, выполнить проверку гипотезы при помощи соответствующего критерия, а затем многократно повторить эту процедуру для различных значений параметров. При этом, в зависимости от индивидуальных особенностей задания, выборки могут как генерироваться заново для каждого значения объёма выборки $n$ , так и образовываться путём добавления одного элемента к уже имеющейся выборке объёма $n-1$ . По результатам расчётов необходимо построить следующие графики:

график зависимости достигаемого уровня значимости от значений параметров при однократном проведении эксперимента (1 балл);
график зависимости достигаемого уровня значимости от значений параметров, усреднённого по нескольким десяткам экспериментов (+1 балл);
график с эмпирическими оценками мощности критерия для разных значений параметров (+1 балл).

В качестве оценки мощности принимается доля отвержений нулевой гипотезы среди всех проверок. То есть, если эксперимент повторялся $k$ раз для каждого набора значений параметра, и в $m$ из $k$ случаев гипотеза была отвергнута на некотором фиксированном уровне значимости $\alpha$ (примем $\alpha=0.05$ ), оценкой мощности будет отношение $m/k$ .

Необходимо сдать: выполненный в LaTex или Microsoft Word отчёт с описанием алгоритма, построенными графиками и выводами (объяснение полученных результатов моделирования, границы применимости критерия и т.д.), а также *.m-файл.

Пример выполнения задания

Исследуем поведение классического двухвыборочного критерия Стьюдента для проверки гипотезы однородности против альтернативы сдвига. $x^n = (x_1,\ldots,x_n)\sim N(\mu_1,\sigma),\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n)\sim N(\mu_2,\sigma);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2,$

$H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2.$

Параметры задачи принимают следующие значения:

$\sigma = 1; \;\;\; \mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

При каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

График значений достигаемого уровня значимости при однократной генерации выборок:

График значений достигаемого уровня значимости, усрёднённых по 100 экспериментам:

График значений эмпирических оценок мощности критерия при проведении 100 экспериментов:

Индивидуальные параметры задания

Одновыборочный критерий Стьюдента

$x^n \sim N(\mu,1);$

$H_0\,:\; \mu=0, \;\; H_1\,:\; \mu\neq 0;$

$\mu=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Безродный Богдан

При каждом значении $\mu$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Двойнев Александр

При каждом значении $\mu$ выборка $x^n$ получается из $x^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Двухвыборочный критерий Стьюдента для независимых выборок

$x^n \sim N(\mu_1,\sigma_1),\;\; y^n \sim N(\mu_2,\sigma_2);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2, \;\; H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2;$

$n=5\,:\,1\,:\,50.$

Коликова Екатерина

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; \sigma_1=\sigma_2=1;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Черняев Константин

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; \sigma_1=\sigma_2=1;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Задонский Дмитрий

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; \sigma_1=1;\;\;\sigma_2=2;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Ломакин Василий

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; \sigma_1=1;\;\;\sigma_2=2;$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Гуков Алексей

$\mu_1=\mu_2=0; \;\;\; \sigma_1=1;\;\;\sigma_2=0.1\,:\,0.1\,:\,4;$ при каждом значении $\sigma_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Решетняк Илья

$\mu_1=\mu_2=0; \;\;\; \sigma_1=1;\;\;\sigma_2=0.1\,:\,0.1\,:\,4;$ при каждом значении $\sigma_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Двухвыборочный критерий Стьюдента для связных выборок (случай парных повторных наблюдений)

$x^n \sim N(\mu_1,1),\;\; y^n \sim N(\mu_2,1);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2, \;\; H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2;$

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Дзыба Дмитрий

При каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Осокин Антон

При каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Одновыборочный критерий Уилкоксона

$x^n \sim F(\mu);$

$H_0\,:\; \mu=0, \;\; H_1\,:\; \mu\neq 0;$

$\mu=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Задонский Максим

$F(\mu)=N(\mu,1);$ при каждом значении $\mu$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Карпинская Алина

$F(\mu)=N(\mu,1);$ при каждом значении $\mu$ выборка $x^n$ получается из $x^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Нарышкин Андрей

$F(\mu)=U[\mu-3,\mu];$ при каждом значении $\mu$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Вишняков Святослав

$F(\mu)=U[\mu-3,\mu];$ при каждом значении $\mu$ выборка $x^n$ получается из $x^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Двухвыборочный критерий Уилкоксона для связных выборок (случай парных повторных наблюдений)

$x^n \sim F(\mu_1),\;\; y^n \sim F(\mu_2);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2, \;\; H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2;$

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Гикал Александр

$F=N(\mu,1);$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Ломакина-Румянцева Екатерина

$F=N(\mu,1);$ при каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Джумабекова Айнагуль

$F=U[0,\mu+1];$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Мягков Артем

$F=U[0,\mu+1];$ при каждом значении $\mu_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Критерий Краскелла-Уоллиса для независимых выборок

$x^n \sim F(\mu_1),\;\; y^n \sim F(\mu_2);$

$H_0\,:\; \mu_1=\mu_2, \;\; H_1\,:\; \mu_1\neq\mu_2;$

$\mu_1=0; \;\;\; \mu_2=0\,:\,0,05\,:\,3; \;\;\; n=5\,:\,1\,:\,50.$

Ахламченкова Ольга

$F=N(\mu,1);$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Голодов Валентин

$F=U[0,\mu+1];$ при каждом значении $\mu_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Алимбаев Данияр

Критерий Колмогорова-Смирнова для проверки нормальности

$x^n$ - смесь распределений $N(0,1)$ и $U[-\mu,\mu]$ с весами $\alpha$ и $1-\alpha$ соответственно. При генерации выборки используется случайный датчик - если его значение не превосходит $\alpha$ , то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе - элемент, взятый из равномерного;

$H_0\,:\; x^n\sim \cdot N(0,1), \;\; H_1\,:\; F_n(x)\neq N(0,1);$

$\alpha=0\,:\,0,02\,:\,1; \;\;\; n=10\,:\,5\,:\,250.$

При каждом значении параметров выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Толстихин Илья

$\mu=1.$

Янгиров Ильдар

$\mu=2.$

Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки нормальности

$H_0\,:\; x^n\sim \cdot N(0,1), \;\; H_1\,:\; F_n(x)\neq N(0,1);$

$\alpha=0\,:\,0,02\,:\,1; \;\;\; n=10\,:\,5\,:\,250.$

При каждом значении параметров выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Дерябин Василий

$\mu=1.$

Одинокова Евгения

$\mu=2.$

F-критерий Фишера для проверки равенства дисперсий

$x^n \sim N(0,\sigma_1),\;\; y^n \sim N(\mu,\sigma_2);$

$H_0\,:\; \sigma_1=\sigma_2, \;\; H_1\,:\; \sigma_1\neq \sigma_2;$

$n=5\,:\,1\,:\,50.$

Аманжолов Рустем

$\mu=0; \;\;\; \sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.1\,:\,0.1\,:\,4;$ при каждом значении $\sigma_2$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Пасконова Ольга

$\mu=0; \;\;\; \sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.1\,:\,0.1\,:\,4;$ при каждом значении $\sigma_2$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Гордеев Дмитрий

$\sigma_1=\sigma_2=1; \;\;\; \mu=0\,:\,0,05\,:\,3;$ при каждом значении $\mu$ выборки для разных значений $n$ генерируются независимо.

Найденов Никита

$\sigma_1=\sigma_2=1; \;\;\; \mu=0\,:\,0,05\,:\,3;$ при каждом значении $\mu$ выборки $x^n, y^n$ получаются из $x^{n-1}, y^{n-1}$ добавлением одного случайного элемента.

Задание 2. Анализ реальных данных

Ниже приведены описания анализируемых данных и постановки задач. Сами данные каждый студент может получить по электронной почте сразу после сдачи первого задания.

Интеллект и размер головного мозга

Исследование проводилось среди студентов психологического факультета крупного университета. Все испытуемые должны были быть правшами, а также не иметь повреждений мозга, эпилепсии, алкоголизма и сердечных заболеваний. Участники предварительного этапа эксперимента прошли несколько IQ-тестов, после чего для дальнейшего участия было отобрано 20 мужчин и 20 женщин, имевших коэффециент интеллекта от 103 до 130 баллов. Для каждого из них при помощи магнитно-резонансной томографии были получены 18 снимков срезов головного мозга, и общее количество пикселей на всех 18 снимках было принято в качестве меры объёма мозга. Помимо этого, были собраны данные о росте и массе тела испытуемых.

Толстихин Илья

Проверить наличие взаимосвязи между интеллектом и объёмом головного мозга для всех испытуемых, независимо от пола, затем провести аналогичный анализ отдельно для мужчин и женщин. Исследовать ту же зависимость, исключив влияние факторов роста и массы тела.

Осокин Антон

Проанализировать, какие из факторов значимо влияют на объём головного мозга. Проверить, по какой из двух групп факторов можно предсказывать объём головного мозга с большей уверенностью - по результатам тестов интеллекта, или по полу, росту и весу.

Продолжительность жизни больных онкологическими заболеваниями

Выборка состоит из 64 пациентов, у которых был диагностирован неизлечимый рак какого-либо органа. Всем им в качестве поддерживающей терапии был назначен к приёму витамин C (считалось, что он может способствовать выздоровлению раковых больных). Приведены данные об остаточной продолжительности жизни пациентов в днях.

Черняев Константин

Требуется проверить, отличается ли остаточная продолжительность жизни в зависимости от того, какой орган поражён раковой опухолью. Оценить остаточную продолжительность жизни в каждой из групп (построить точечные, интервальные оценки).

Внешний вид и привлекательность самок мечехвостов

Изучалось влияние внешних характеристик самок морских ракообразных мечехвостов на их привлекательность для самцов. Выборка состоит из данных о наблюдениях над 173 особями и содержит закодированные данные о размере самок, их весе, цвете, состоянии панциря, а также о количестве спутников.

Одинокова Евгения

Построить функцию, по внешним параметрам самки предсказывающую, будет ли у неё хотя бы один спутник. Оценить значимость каждого фактора.

Ломакин Василий

Построить функцию, по внешним параметрам самки предсказывающую количество спутников у самки. Оценить значимость каждого фактора.

Засеивание облаков и уровень осадков

Исследовалось воздействие засеивания облаков на обилие дождей. Измерения проводились в течение 108 периодов на пяти участках земли в Тасмании - участки обозначены в файле как западный, восточный, южный, северный и северо-восточный. В выборке содержатся данные об уровне осадков (в миллиметрах) на каждом из пяти участков, о времени года, к которому относится период, и о том, проводилось ли засеивание.

Решетняк Илья

Проверить, как засеивание облаков повлияло на уровень осадков в целом по всей выборке. Сделать также выводы об эффективности засеивания отдельно по каждому времени года.

Задание 3. Написание или доработка wiki-статей

Некоторые рекомендации

Образцом оформления статей могут служить: Критерий Стьюдента, Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни, Проверка статистических гипотез. Однако даже этим статьям не хватает наглядности, график кривой распределения и критической области, а также численные примеры в конце явно не помешали бы.
Старайтесь придерживаться единообразия в структуре статей по статистическим критериям.
Обязательно посмотрите прошлогодние рекомендации по написанию статей к этому курсу.
Рекомендуется внизу на данной странице завести список группы (как это сделали в прошлом году), чтобы все видели, кто какую статью себе взял.

— К.В.Воронцов 02:14, 14 ноября 2009 (MSK)

Статьи, нуждающиеся в доработке

Некоторые рекомендации

Общий критерий при доработке статей: если Вам статья показалась непонятной и пришлось лезть в другие источники, то недостающую информацию надо перенести сюда, и не забыть указать ссылки на источники.
Если заметите ошибки, опечатки, небрежности в оформлении — исправляйте обязательно!
Добавление примеров прикладных задач и графических иллюстраций поощряется!

— К.В.Воронцов 02:14, 14 ноября 2009 (MSK)

Гипотеза сдвига: список ссылок на статьи по всем параметрическим и непараметрическим критериям, проверяющим гипотезу сдвига
Критерий Джонкхиера: больше интересных примеров и более точные ссылки
Медианный критерий: оформить аналогично остальным статьям по критериям
Частная корреляция: хороших материалов по этой теме гораздо больше, чем давалось на лекции, хотелось бы найти побольше примеров и контрпримеров из практических задач
Конкордация Кенделла: статья оформлена небрежно, надо улучшать изложение, поподробнее описать пример и найти ещё примеры задач
Шаговая регрессия: тема очень обширная, нужно добавлять примеры, описание алгоритмов, ссылки на алгоритм Фюрнкранца и т.д... есть много источников на русском
Непараметрическая регрессия: конкретизировать, добавить примеры, ссылки на методы
Скользящий контрольный сигнал: добавить ссылок на другие разделы по адаптивным методам прогнозирования временных рядов
Ротационная панель: статья не доработана, материалы по данной теме есть в некоторых учебниках эконометрики последних лет

Новые статьи

Статьи о группах методов или критериев

Некоторые рекомендации

Эти статьи не содержат описаний методов, но в них должны перечисляться ссылки на большое число методов или критериев, объединённых под данным общим названием.
Должно даваться общее определение из классических источников (например, из энциклопедии теории вероятностей и математической статистики).
Желательны примеры задач.
Желательно указывать, чем отличаются различные критерии и методы в данной группе друг от друга, какие есть рекомендации по выбору одного из этих методов.
Любые сообщаемые факты должны сопровождаться ссылками на источник.
Помните, что предоставляемая информация должна быть полезна специалистам при решении практических задач.
Собрать грамотную подборку ссылок (вместо тупого копирования их содержимого) с вашими лаконичными комментариями — это уже очень полезно!

— К.В.Воронцов 02:14, 14 ноября 2009 (MSK)

Параметрические статистические тесты
Непараметрические статистические тесты
Выборочный анализ
Выборочный контроль качества
Адаптивные методы прогнозирования временных рядов=Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования: список ссылок на методы, на основе книги Лукашина

Статьи о критериях

Некоторые рекомендации

У многих статей о критериях, не перечисленных ниже, не хватает графика функции распределения статистики с выделенной критической областью, пример как это сделано в статье Критерий хи-квадрат. Добавление в них картинок тоже поощряется!

— К.В.Воронцов 02:14, 14 ноября 2009 (MSK)

Статьи о распределениях

Некоторые рекомендации

Эти статьи есть в Большой Википедии. Работа по переносу контента тоже нужная, но нетрудная и потому оценивается невысоко

— К.В.Воронцов 02:14, 14 ноября 2009 (MSK)

Распределение статей по студентам

Ломакин Василий

Коэффициент корреляции Кенделла, Коэффициент корреляции Спирмена: в этих двух статьях остро не хватает примеров
Анализ регрессионных остатков: нужны примеры задач, иллюстрации к визуальному анализу, аккуратный список статистических тестов, которые могут использоваться для анализа регрессионных остатков
Критерий Уилкоксона двухвыборочный
Критерий Уилкоксона для связных выборок

Толстихин Илья

Эмпирическое распределение: новая статья
Ковариационный анализ: аккуратнее написать постановки задач, найти интересные примеры приложений, добавить перечень критериев (в виде списка ссылок)
Непараметрическая регрессия: ядерное сглаживание: статья оформлена небрежно, имеются указания по её доработке
Критерий Лемана-Розенблатта (на лекции не рассказывался)

Пасконова Ольга

Двухфакторная непараметрическая модель: новая статья
Дисперсионный анализ: общие определения, примеры задач и перечень методов (в виде списка ссылок)

Ломакина-Румянцева Екатерина

Однофакторная параметрическая модель: новая статья
Однофакторная непараметрическая модель: новая статья

Решетняк Илья Михайлович

Критерии нормальности=Критерий нормальности: общие определения, примеры задач и перечень критериев (в виде списка ссылок), желательно привести сравнительную таблицу мощностей критериев нормальности из Кобзаря
Ранговые критерии=Ранговый критерии: общие определения и перечень критериев (в виде списка ссылок)
Критерий Фишера: примеры и более точные ссылки; на самом деле критериев Фишера есть много разных, в данной статье никак не затронут критерий Фишера для выбора значимого набора признаков в линейной регрессии
Критерий Краскела-Уоллиса: больше интересных примеров и более точные ссылки

Джумабекова Айнагуль

Стратификация: новая статья
Робастность=Робастное оценивание: новая статья

Валентин Голодов

Простой случайный выбор
Алгоритм LOWESS: статья оформлена небрежно, имеются указания по её доработке

Коликова Екатерина

Двухфакторный нормальный анализ: новая статья
Пропорциональный выбор: новая статья

Осокин Антон

Критерии однородности=Критерий однородности: общие определения, примеры задач и перечень критериев (в виде списка ссылок)
Критерии согласия=Критерий согласия: общие определения, примеры задач и перечень критериев (в виде списка ссылок)
Метод LSD: описать пример более подробно, найти ещё три-четыре примера применения, добавить более точные ссылки

Безродный Богдан

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%2C_%D0%9A.%D0%92.%D0%92%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%BE%D0%B2%29/2009»

@@ Строка 332: / Строка 332: @@
 *[[Распределение хи-квадрат]]
 *[[Распределение Стьюдента]]
+*[[Нормальное распределение]]=[[Гауссовское распределение]]=[[Многомерное нормальное распределение]]=[[Одномерное нормальное распределение]], [[Нормальная выборка]]

Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2009

Материал из MachineLearning.

Версия 13:15, 19 ноября 2009

Содержание

Задание 1. Исследование статистических критериев на модельных данных

Пример выполнения задания

Индивидуальные параметры задания

Одновыборочный критерий Стьюдента

Безродный Богдан

Двойнев Александр

Двухвыборочный критерий Стьюдента для независимых выборок

Коликова Екатерина

Черняев Константин

Задонский Дмитрий

Ломакин Василий

Гуков Алексей

Решетняк Илья

Двухвыборочный критерий Стьюдента для связных выборок (случай парных повторных наблюдений)

Дзыба Дмитрий

Осокин Антон

Одновыборочный критерий Уилкоксона

Задонский Максим

Карпинская Алина

Нарышкин Андрей

Вишняков Святослав

Двухвыборочный критерий Уилкоксона для связных выборок (случай парных повторных наблюдений)

Гикал Александр

Ломакина-Румянцева Екатерина

Джумабекова Айнагуль

Мягков Артем

Критерий Краскелла-Уоллиса для независимых выборок

Ахламченкова Ольга

Голодов Валентин

Алимбаев Данияр

Критерий Колмогорова-Смирнова для проверки нормальности

Толстихин Илья

Янгиров Ильдар

Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки нормальности

Дерябин Василий

Одинокова Евгения

F-критерий Фишера для проверки равенства дисперсий

Аманжолов Рустем

Пасконова Ольга

Гордеев Дмитрий

Найденов Никита

Задание 2. Анализ реальных данных

Интеллект и размер головного мозга

Толстихин Илья

Осокин Антон

Продолжительность жизни больных онкологическими заболеваниями

Черняев Константин

Внешний вид и привлекательность самок мечехвостов

Одинокова Евгения

Ломакин Василий

Засеивание облаков и уровень осадков

Решетняк Илья

Задание 3. Написание или доработка wiki-статей

Статьи, нуждающиеся в доработке

Новые статьи

Статьи о группах методов или критериев

Статьи о критериях

Статьи о распределениях

Распределение статей по студентам

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты