Критерий Пейджа

Материал из MachineLearning.

Критерий Пейджа является непараметрическим критерием, предназначенным для проверки однородности статистических даннных.

Содержание

1 Примеры задач
2 Описание критерия
3 Литература
4 См. также
5 Ссылки

Примеры задач

Пусть на некотором предприятии k подразделений выполняют одну и ту же работу, но на оборудовании различных производителей. Каждому подразделению соответствует выборка, состоящая из рабочих этого подразделения. Каждое значение в выборке - это числовая оценка производительности данного рабочего. Требуется определить, даёт ли использование одного оборудования лучший результат по сравнению с оборудованием других производителей.

Другой пример: предположим, существует k альтернативных агротехнических методов обработки полей. Для каждого такого метода составим выборку из обработанных им полей. Значение в выборке равно урожайности данного поля. Требуется определить, эквивалентны ли эти методы с точки зрения объёма собираемого урожая.

Описание критерия

Дано $kn$ наблюдений $x_{ij}$ , где $1 \le i \le n, 1 \le j \le k,$ . Через $H_0$ обозначим гипотезу о равенстве средних для каждой из $k$ групп:

$\bar{x_1}=\dots=\bar{x_k}$ .

Для каждого $i$ , где $1 \le i \le n$ , упорядочим последовательность

$x_{i1}, x_{i2}, \dots, x_{ik}$ .

Ранг элемента $x_{ij}$ внутри такой последовательности обозначим через $r_{ij}$ . Очевидно,

$1 \le r_{ij} \le k$ .

Статистика критерия имеет вид

$L = \sum_{j=1}^k jR_j$ ,

где

$R_j = \sum_{i=1}^n r_{ij}$ .

Гипотеза $H_0$ принимается, если $L < L_\alpha(n, k)$ . Критические значения $L_\alpha(n, k)$ находятся при помощи интерполяции табличных данных.

При $n > 10$ распределение $L(n, k)$ можно аппроксимировать нормальным:

$L(n, k) \sim N(\frac{nk(k+1)^2}4, \frac{n(k^3-k)^2}{144(k-1)})$ .

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
Page E. B. Ordered hypotheses for multiple treatments: A significance test for linear ranks // JASA. 1963. V. 58. P. 216-230.