Ридж-регрессия

Материал из MachineLearning.

(Перенаправлено с Гребневая регрессия)
Перейти к: навигация, поиск

Ридж-регрессия или гребневая регрессия (англ. ridge regression) - это один из методов понижения размерности. Часто его применяют для борьбы с переизбыточностью данных, когда независимые переменные коррелируют друг с другом (т.е. имеет место мультиколлинеарность). Следствием этого является плохая обусловленность матрицы X^T X и неустойчивость оценок коэффициентов регрессии. Оценки, например, могут иметь неправильный знак или значения, которые намного превосходят те, которые приемлемы из физических или практических соображений.

Применение гребневой регрессии нередко оправдывают тем, что это практический приём, с помощью которого при желании можно получить меньшее значение среднего квадрата ошибки.

Метод стоит использовать, если:

  • сильная обусловленность;
  • сильно различаются собственные значения или некоторые из них близки к нулю;
  • в матрице X есть почти линейно зависимые столбцы.


Содержание

Пример задачи

Предположим признаки в задаче были плохо отобраны экспертами и в X присутствуют данные о длине, выраженные с сантиметрах и дюймах. Легко видеть, что эти данные линейно зависимы.

Описание метода

Дополнительное определение

Пусть \Sigma=X^T X.

Число обусловленности равно \mu(\Sigma)=||\Sigma||\cdot||\Sigma^{-1}||=\frac{\max_{u:||u||=1} ||\Sigma_u ||}{\min_{u:||u||=1} ||\Sigma_u ||}=\frac{\lambda_{max}}{\lambda_{min}},

где \lambda_{max},\ \lambda_{min} собственные значения \Sigma.

Гребневая регрессия

Вводится модифицированный функционал

Q_{\tau}=|| y -X\theta||^2+\tau||\theta||^2\to \min_{\theta}

где \tau - коэффициент регуляризации. Это положительноe число, в приложениях обычно принимают \tau\in (0,1)

МНК (регуляризованное) решение получается таким

\hat{Q}_\tau=(X^T X+\tau I_k)^{-1}X^T y


У матриц X^T X и (X^X+\tau I_k) собственные вектора совпадают, а собственным значением различаются на \tau. Поэтому число обусловленности для матрицы X^T X+\tau I равно

\mu(X^T X+\tau I)=\frac{\lambda_{max}+\tau}{\lambda_{min}+\tau}.

Получается, что чем больше \tau, тем меньше число обусловленности. С ростом \tau возрастает устойчивость задачи.

При сингулярном разложении получаем.

||\hat{Q}||^2=\sum_{j=1}^k \frac{1}{\lambda_j}(v_j^T y)^2

||\hat{Q}_\tau||^2=\sum_{j=1}^k \frac{1}{\lambda_j+\tau}(v_j^T y)^2

Они различаются только на сомножитель.

Происходит сжатие коэффициентов (shrinkage). Понижается эффективная размерность, хотя количество признаков остаётся прежним.

Число признаков измеряется по формуле

tr X(X^T X)^{-1} X^T=tr I_k=k

После модификации число признаков становится равным

tr X(X^T X+\tau I)^{-1} X^T=tr diag(\frac{\lambda_j}{\lambda_j+\tau})=\sum_{j=1}^{k}\frac{\lambda_j}{\lambda_j+\tau},

а это меньше k. Поэтому чем больше \tau, тем меньше эффективная размерность.

Литература

  • Норман Дрейпер, Гарри Смит Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия = Applied Regression Analysis. — 3-е изд. — М.: «Диалектика», 2007. — С. 912. — ISBN 0-471-17082-8
  • Стрижов В.В., Крымова Е.А. Методы выбора регрессионных моделей. М.: ВЦ РАН, 2010. 60 с. Брошюра, PDF.

См. также

Ссылки

Ridge regression

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A0%D0%B8%D0%B4%D0%B6-%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F»