Вероятностное пространство

Материал из MachineLearning.

Версия от 17:05, 2 ноября 2009; Pavel Vilenkin (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega,\mathcal{F},P)$ , где:

$\Omega$ — это множество объектов $\omega\in\Omega$ , называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество $\Omega$ необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения «произвести случайный опыт» означает в точности указать один элементарный исход $\omega$ , который произошел в данной реализации опыта.

— это некоторая зафиксированная система подмножеств , которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие , то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, то есть удовлетворять следующим свойствам:
- Пустое множество $\emptyset$ должно быть событием, то есть принадлежать $\mathcal{F}$ . Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
- Все множество $\Omega$ также должно быть событием: $\Omega\in\mathcal{F}$ . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
- Совокупность событий $\mathcal{F}$ должна образовывать алгебру, то есть быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если $A\in\mathcal{F}$ и $B\in\mathcal{F}$ , тогда должно быть $A\cup B\in\mathcal{F}$ , $A\cap B\in\mathcal{F}$ , $\overline{A}\in\mathcal{F}$ . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
- В дополнение к указанным свойствам, система $\mathcal{F}$ должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ , тогда должно быть $\bigcup_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}$ и $\bigcap_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}$ .

— это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число , которое называется вероятностью события . Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, то есть обладать свойствами:
- $0\le P(B)\le 1$ для любого $B\in \mathcal{F}$
- $P(\emptyset)=0$ , $P(\Omega)=1$
- Если $A\in\mathcal{F}$ и $B\in\mathcal{F}$ — события, причем $A\cap B=\emptyset$ , тогда $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (свойство аддитивности).
- Если $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ , причем Если $B_i\cap B_j=\emptyset$ для любых Если $i\ne j$ , тогда должно быть $P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)$ (свойство сигма-аддитивности).

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов $\Omega$ конечно или счетно: $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}$ , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества $\Omega$ . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу $\omega_i$ число $p_i\ge 0$ так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события $B$ определяется следующим образом: