Интерполяция функций двух переменных, проблема выбора узлов

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Рассмотрим систему несовпадающих точек ~(x_i , y_i) (i\in{0,1,\dots,N}) из некоторой области ~D. Пусть значения функции ~f известны только в этих точках:

z_i = f(x_i,y_i),\quad i=1,\ldots,N.

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции ~F из заданного класса функций, что

F(x_i,y_i) = z_i,\quad i=1,\ldots,N.
  • Точки ~(x_i , y_i) называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
  • Тройки ~(x_i,y_i,z_i) называют точками данных или базовыми точками.
  • Разность между «соседними» значениями ~\Delta x_i=x_i-x_{i-1} — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.
  • Функцию ~F(x) — называют интерполирующей функцией .

Изложение метода

Пусть сетка образована пересечением прямых x = xn, n = 0, ..., N и y = ym, m = 0, ..., M, fnm = f(xn, ym) — значение функции в узле {xn, ym }.

Билинейная интерполяция

Билинейной интерполяцией называют расширение линейной интерполяции для функций двух переменных. Для этого сначала реализуется линейная интерполяция по x на каждой прямой y = ym . Затем при каждом значении x = xn реализуется линейная интерполяция по y с учетом значений функции, полученных на первом шаге.
Пусть \ x\in[x_n,x_n_+_1],\ \ y\in[y_m,y_m_+_1]

F(x,y)\approx \ f_{nm}\frac{(x_{n+1}-x)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ \ \ +\ \ \ f_{n+1,m}\frac{(x-x_n)(y_{m+1}-y)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}+<br/>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +f_{n,m+1}\frac{(x-x_n)(y-y_m)}{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}\ +\ f_{n+1,m+1}\frac{(x_{n+1}-x)(y-y_m)}{{(x_{n+1}-x_n)(y_{m+1}-y_m)}

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%2C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0_%D1%83%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B2»