Сингулярное разложение

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Сингулярное разложение (Singular Value Decomposition, SVD) — декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к следующему каноническому виду.

Теорема. Для любой вещественной (m\times m)-матрицы A существуют две вещественные ортогональные (m\times m)-матрицы U и V такие, что U^T A V — диагональная матрица \Lambda,

U^TAV=\Lambda.

Матрицы U и V выбираются так, чтобы диагональные элементы матрицы \Lambda имели вид

\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_r > \lambda_{r+1}=\ldots=\lambda_m=0,

где r — ранг матрицы A. В частности, если A невырождена, то

\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_m > 0.

Индекс r элемента \lambda_r есть фактическая размерность собственного пространства матрицы A. Столбцы матриц U и V называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения диагонали матрицы \Lambda называются сингулярными числами.

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5»
Личные инструменты