Оценка параметров смеси моделей

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Эта статья в формате PDF

Введение

В случае, когда одной модели для описания данных не хватает, используют смеси моделей. Предполагается, что исходная зависимость выражается формулой:

p(\vec{y} | \vec{x}) = \sum_{k=1}^l p(\vec{w}_k | \vec{x}) p(y | \vec{x}, \vec{w}_k) = \sum_{k=1}^l \pi_k p(y | \vec{x}, \vec{w}_k),

где \pi_k = p(\vec{w}_k | \vec{x}) --- вероятность принадлежности модели k.

\sum_{k=1}^l \pi_k = 1.

Далее предполагается, что объекты в выборке независимы и плотность совместного распределения преобразуется в произведение плотностей распределения каждого объекта.

p(\vec{y} | \vec{x}) = \sum_{k=1}^l \pi_k \prod_{i=1}^{n} p(y^i | \vec{x}^i, \vec{w}_k) = \prod_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^l \pi_k p(y^i | \vec{x}^i, \vec{w}_k).

Введем функцию правдоподобия Q(\vec{w_1}, \dots, \vec{w_l}, \vec{\pi}) как логарифм плотности вероятности данных.

Q(\vec{w}^1, \dots, \vec{w}^l, \vec{\pi}) = \ln p(\vec{y} | \vec{x}) = \sum_{i=1}^{m} \ln \left[\sum_{k=1}^l \pi_k p(y^i | \vec{x}^i, \vec{w}_k)\right].

Обозначим через p(y, \vec{w}_k | \vec{x}) вероятность того, что объект (\vec{x}, y) был порожден компонентой \vec{w}_k, \gamma_{ik} = p(\vec{w}_k | y^i, \vec{x}^i) --- вероятность того, что i-объект порожден j-компонентой. Каждый объект был порожден какой-либо моделью, по формуле полной вероятности

\sum_{k=1}^{l} \gamma_{ik} = 1, \quad \forall i.

Для произвольного объекта (\vec{x}, y) вероятность его получения моделью w_k по формуле условной вероятности равна:

p(y, \vec{w}_k | \vec{x}) = p(\vec{w}_k | \vec{x}) p(y | \vec{x}, \vec{w}_k) \equiv \pi_{k} p(y | \vec{x}, \vec{w}_k).

Подставим это равенство в формулу Байеса для \gamma_{ik}

\gamma_{ik} = \frac{\pi_k p(y^i | \vec{x}^i, \vec{w}_k)}{\sum_{s=1}^{l} \pi_s p(y^i | \vec{x}^i, \vec{w}_s)}.

Для определения параметров смеси необходимо решить задачу максимизации правдоподобия Q(\vec{w}^1, \dots, \vec{w}^l, \vec{\pi}) \rightarrow max, для этого выпишем функцию Лагранжа:

L = \sum_{i=1}^{m} \ln \left[\sum_{k=1}^l \pi_k p(y^i | \vec{x}^i, \vec{w}^k)\right] - \lambda \left(\sum_{k=1}^{l} \pi_k - 1\right).

Приравняем производные по \pi_k и \vec{w}_k функции Лагранжа к нулю получим, что:

\pi_k = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} g_{ik}.

и оптимизационная задача для нахождения параметров модели имеет вид:

\sum_{i=1}^{m} \gamma_{ik} \ln p(y^i | \vec{x}^i, \vec{w}^k) \rightarrow \max_{\vec{w}^k}.

В общем случае задача оптимизации Q(\vec{w}^1, \dots, \vec{w}^l, \vec{\pi}) \rightarrow max трудна, для её решения используют EM-алгоритм, заключающийся в итеративном повторении двух шагов. На E-шаге вычисляются ожидаемые значения вектора скрытых переменных \gamma_{ik} по текущему приближения параметров моделей (\vec{w}_1, \dots, \vec{w}_l). На M-шаге решается задача максимизации правдоподобия Q при начальном приближении параметров моделей и значений \gamma_{ik}.

E-шагу соответствует выражение

\gamma_{ik} = \frac{\pi_k p(y^i | \vec{x}^i, \vec{w}_k)}{\sum_{s=1}^{l} \pi_s p(y^i | \vec{x}^i, \vec{w}_s)}.

M-шаг заключается в оптимизации параметров распределений.

Q(\vec{w}^1, \dots, \vec{w}^l | \vec{\pi}) \rightarrow max

Формула на M-шаге может упроститься для случая конкретного распределения. Для упрощения дальнейших рассуждений введем обозначения

G = (\vec{\gamma}_1, \dots, \vec{\gamma}_l) = \begin{pmatrix} \gamma_{11} & \dots & \gamma_{1l} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \gamma_{m1} & \dots & \gamma_{ml} \\ \end{pmatrix} G_k = \textrm{diag}(\vec{\gamma}_k).

Оценка параметров смеси линейных моделей

Линейная модель имеет вид:

\vec{y} = X\vec{w} + \vec{\eps},

где \vec{\eps} \sim \mathcal{N}(\vec{0}, B) --- вектор нормально распределенных ошибок. В данной постановке вектор \vec{y} является нормальным с математическим ожиданием

\mathsf{E}(y | \vec{x}) = \mu = \vec{x}^{T}\vec{w}, и корреляционной матрицей B.

p(\vec{y} | X, \vec{w}) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}} \sqrt{|\textrm{det}B|}} \exp\left(-\frac{1}{2} (\vec{y} - X\vec{w})^{T} B (\vec{y} - X\vec{w}) \right).

Шаг M алгоритма примет следующий вид:

G_k \ln\left[ \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}} \sqrt{|\textrm{det}B|}}\right] -\frac{1}{2} \left(G_k (\vec{y} - X\vec{w})^{T} B (\vec{y} - X\vec{w}) \right) \rightarrow \max_{\vec{w}}

Первое слагаемое не зависит от \vec{w}_k, его можно не учитывать. Преобразование второго слагаемого дает

\frac{1}{2} \vec{w}^{T} X^{T} G_k B X \vec{w} - \vec{w}^{T} X^{T} G_k B \vec{y} \rightarrow \min_{\vec{w}}

Задача квадратична по \vec{w}, решение находится аналитически

\vec{w}^* = \left( X^{T} G_k B X \right)^{-1} G_k B X \vec{y}.

Оценка параметров смеси обобщенно-линейных моделей

В случае обобщенных линейный моделей функция плотности распределения имеет вид

p(\vec{y} | \vec{\theta}) = \exp \left( \vec{T}(\vec{y})^{T} \vec{\eta}(\vec{\theta}) - b(\vec{\theta}) + c(\vec{y}) \right).

M-шаг алгоритма сводится к максимизации

G_k \vec{T}(\vec{y})^{T} \vec{\eta}(\vec{\theta}) - G_k b(\vec{\theta}) + G_k c(\vec{y}) \rightarrow \max_{\vec{\theta}}.

Последнее слагаемое не зависит от параметров модели \theta, что позволяет упростить функционал

G_k \vec{T}(\vec{y})^{T} \vec{\eta}(\vec{\theta}) - G_k b(\vec{\theta}) \rightarrow \max_{\vec{\theta}}.

Дальнейшая минимизация зависит от конкретного семейства из обобщенного класса, вида функции b(\theta).

Оценка параметров смеси экспертов

Понятие смеси экспертов было введено Якобсом (Jacobs) в 1991г. Предполагается, что параметры смеси \pi являются функциями от объекта, т.е.

p(\vec{y} | \vec{x}) = \sum_{k=1}^l \pi_k(\vec{x}) p(y | \vec{x}, \vec{w}_k).

Компоненты \pi_k(\vec{x}) называются функциями селективности, а p(y | \vec{x}, \vec{w}_k) экспертами. Функция селективности отвечает за компетентность эксперта в определенной области.

Литература


Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Кирилл Павлов
Преподаватель: В.В. Стрижов
Срок: 26 сентября 2011

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2_%D1%81%D0%BC%D0%B5%D1%81%D0%B8_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B9»
Личные инструменты