Мультиколлинеарность
Материал из MachineLearning.
Мультиколлинеарность - тесная корреляционная взаимосвязь между отбираемыми для анализа факторами, совместно воздействующими на общий результат, которая затрудняет оценивание регрессионных параметров.
Содержание |
Основные положения
Если регрессоры в модели связаны строгой функциональной зависимостью, то имеет место полная (совершенная) мультиколлинеарность. Данный вид мультиколлинеарности может возникнуть, например, в задаче линейной регрессии, решаемой методом наименьших квадратов, если определитель матрицы будет равен нулю. Полная мультиколлинеарность не позволяет однозначно оценить параметры исходной модели и разделить вклады регрессоров в выходную переменную по результатм наблюдений.
В задачах с реальными данными случай полной мультиколлинеарности встречается крайне редко. Вместо этого в прикладной области часто приходится иметь дело с частичной мультиколлинеарностью, которая характеризуется коэффициентами парной корреляции между регрессорами. В случае частичной мультиколлинеарности матрица будет иметь полный ранг, но ее определитель будет близок к нулю. В этом случае формально можно получить оценки параметров модели и их точностные показатели, но все они будут неустойчивыми.
Среди последствий частичной мультиколлинеарности можно выделить следующие:
- увеличение дисперсий оценок параметров
- уменьшение значений t-статистик для параметров, что приводит к неправильному выводу об их статистической значимости
- получение неустойчивых оценок параметров модели и их дисперсий
- возможность получения неверного с точки зрения теории знака у оценки параметра
Точные количественные критерии для обнаружения частичной мультиколлинеарности отсутствуют. В качестве признаков ее наличия чаще всего используют следующие:
- Превышение некого порога модулем парного коэффициента корреляции между регрессорами
и
- Близость к нулю определителя матрицы
- Большое количество статистически незначимых параметров в модели
Методы устранения мультиколлинеарности
Существует два основных подхода к решению этой задачи.
- Метод дополнительных регрессий
- Строятся уравнения регрессии, которые связывают каждый из регрессоров со всеми остальными
- Вычисляются коэффициенты детерминации
для каждого уравнения регрессии
- Проверяется статистическая гипотеза
с помощью F-теста
- Вывод: если гипотеза
не отвергается, то данный регрессор не приводит к мультиколлинеарности.
- Вывод: если гипотеза
- Метод последовательного присоединения
- Строится регрессионная модель с учетом всех предполагаемых регрессоров. По признакам делается вывод о возможном присутствии мультиколлинеарности
- Расчитывается матрица корреляций и выбирается регрессор, имеющий наибольшую корреляцию с выходной переменной
- К выбранному регрессору последовательно добавляются каждый из оставшихся регрессоров и вычисляются скорректированные коэффициенты детерминации для каждой из моделей. К модели присоединяется тот регрессор, который обеспечивает наибольшее значение скорректированного
- Процесс присоединения регрессоров прекращается, когда значение скорректированного
- Процесс присоединения регрессоров прекращается, когда значение скорректированного
Каким бы образом не осуществлялся отбор факторов, уменьшение их числа приводит к улучшению обусловленности матрицы , а, следовательно, и к повышению качества оценок параметров модели.
Помимо перечисленных методов существует ещё один, более простой, дающий достаточно хорошие результаты — это метод предварительного центрирования. Суть метода сводится к тому, что перед нахождением параметров математической модели проводится центрирование исходных данных: из каждого значения в ряде данных вычитается среднее по ряду: . Эта процедура позволяет так развести гиперплоскости условий МНК, чтобы углы между ними были перпендикулярны. В результате этого оценки модели становятся устойчивыми (Построение многофакторных моделей в условиях мультиколлинеарности).
Литература
- Костюнин В. И. Проблема мультиколлинеарности в регрессионных моделях. Презентация PPT.
- Светуньков С.Г. Построение многофакторных моделей в условиях мультиколлинеарности.
