МЛР

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск
Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Касперский Иван
Преподаватель: Участник:Константин Воронцов
Срок: 6 января 2009, а сейчас 10 ноября 2024

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Многомерная линейная регрессия — это регрессия в n-мерном пространстве.

Многомерная линейная регрессия

Имеется множество объектов X = \mathbb{R} ^n и множество ответов Y = \mathbb{R}. Также имеется набор n вещественнозначных признаков f_j(x), \ j=1, \ \ldots , \ n. Введём матричные обозначения: матрицу информации F, целевой вектор y и вектор параметров \alpha:

F=\(f_1\ \dots\ f_n\)\;,\ \ f_i=\(f_i(x_1)<br>\ \vdots<br>f_i(x_l)\)\;, \ \ y=\(y_1<br>\ \vdots<br>y_l\)\;, \ \ \ \alpha=\(\alpha_1<br>\ \vdots<br>\alpha_n\)\ .

Алгоритм:

a(x) = \sum_{j=1}^n\alpha_jf_j(x).

Оценим качество его работы на выборке X^l = (x_i,\ y_i)_{i=1}^l \in X*Y методом наименьших квадратов:

Q(\alpha, X^l)\ =\ \sum_{i=1}^l(a(x_i) - y_i)^2 \rightarrow \min_{\alpha \in \mathbb{R}^n}, или, в матричных обозначениях,
Q(\alpha)\ =\ \parallel (F\alpha\ -\ y)\parallel^2 \rightarrow \min_{\alpha \in \mathbb{R}^n}.

Найдём минимум Q(\alpha) по α:

\frac{\partial Q (\alpha)}{\partial \alpha} = 2 F^T (F\alpha - y) = 0\ \Rightarrow\ (F^TF)\alpha = F^Ty.

Если rank(F^TF) = n, то можно обращать матрицу F^TF\ \text{:}\ \alpha^* = (F^TF)^{-1}F^Ty = F^+y, где введено обозначение F^+ = (F^TF)^{-1}F^T.


В таком случае функционал качества записывается в более удобной форме:

Q(\alpha^*) = \parallel F(F^TF)^{-1}F^Ty - y \parallel ^2 = \parallel P_{_F}y - y \parallel^2, где P_F — проекционная матрица:

P_{_F} y — вектор, являющийся проекцией y на \mathfrak{L}(f_1,\ \dots,\ f_n).
как нарисовать значок проекционной матрицы, чтобы его можно было отличить от того, на что матрица умножается?!

Теперь рассмотрим сингулярное разложение матрицы F:

F\ =\ VDU^T.

В таких обозначениях:

F^+\ =\ (F^TF)^{-1}F^T\ =\ (UDV^TVDU^T)^{-1}UDV^T\ =\ (UDDU^T)^{-1}UDV^T\ =\ U^{-T}D^{-2}U^{-1}UDV^T\ =\ U^{-T}D^{-2}DV^T, а так как U^{-1}\ =\ U^T, то F^+\ =\ UD^{-1}V^T\ =\ \sum_{j=1}^{n}{ \frac{1}{\sqrt{\lambda _j}}u_j v_j^T } в силу диагональности матрицы D.

А решение метода наименьших квадратов запишется в следующем виде:

\alpha ^*\ =\ F^+y\ =\ \sum_{j=1}^{n} \frac1{\sqrt{\alpha _j}} u_j(v_j^T,\ y);

А так как \parallel \alpha \parallel^2 \ =\ \alpha ^T \alpha, то

\parallel \alpha ^*\parallel^2 \ =\ \parallel UD^{-1}V^Ty \parallel^2 \ =\ y^TVD^{-T}U^TUD^{-1}V^Ty\ =\ y^TVD^{-2}V^Ty\ =\ \parallel D^{-1}V^Ty \parallel^2\ =\ \sum_{j=1}^{n} \frac1{\alpha _j} (v_j^T,\ y)^2.
Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%9B%D0%A0»
Личные инструменты