Функция ядра

Материал из MachineLearning.

Версия от 14:45, 6 января 2010; Osa (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Определение

Пусть $X$ – некоторое пространство. Тогда отображение $K:\ X \times X \to \mathbb R$ называется ядром или kernel function, если оно представимо в виде:

$K \left(x,x^{\prime} \right) = \left< \psi(x), \psi (x^{\prime}) \right>_H$ , где $\psi$ – некоторое отображение $\psi:\ X \to H$ .

Теорема Мерсера устанавливает необходимые и достаточные условия, при которых отображение $K\left(x,x^{\prime} \right)$ является ядром. Эти условия красивы с теоретической точки зрения, однако на практике их применение затруднительно. В качестве практически применимой альтернативы используют конструктивные способы порождения ядер.

Конструктивные способы порождения ядер

Ниже приведены некоторые правила, применение которых позволяет конструктивно получить любое ядро из достаточно широкого класса ядер:

1. Тривиальное ядро: $K(x,x^{\prime}) = \left< x,x^{\prime} \right>$ - ядро по определению;

2. Констатнта: $K(x,x^{\prime}) = 1$ – также является ядром;

3. Произведение ядер: $K(x,x^{\prime}) = K_1(x,x^{\prime})K_2(x,x^{\prime})$ – ядро, если $K_1,K_2$ – ядра;

4. Произведение отображений: $K(x,x^{\prime}) = \psi(x) \psi(x^{\prime})$ – ядро $\forall \psi:\ X \to \mathbb R$ ;

5. Линейная комбинация ядер: $K(x,x^{\prime}) = \alpha_1 K_1(x,x^{\prime}) + \alpha_2 K_2(x,x^{\prime})$ - ядро $\forall \alpha_1,\alpha_2 \geq 0$

6. Композиция ядра и отображения: $K(x,x^{\prime}) = K_0\left(\varphi(x),\varphi(x^{\prime})\right)$ – ядро, где $K_0(x,x^{\prime})$ – произовльное ядро и $\varphi(x)$ – произвольное отображение $\varphi: \ X \to X$ ;

7. Интегральное скалярное произведение: $\int\limits_X S(x,z)S(x^{\prime},z)\,dz$ – ядро для любой симметричной интегрируемой функции $S:\ X\times X \to \mathbb R$ ;

8. Отображение с неотрицательным Фурье-образом: $K(x,x^{\prime}) = k(x-x^{\prime})$ – ядро тогда и только тогда, когда неотрицателен Фурье-образ отображения $k$ , то есть: $F[k] (w) = (2 \pi)^{\frac{n}{2}} \int\limits_X{ exp({-i \left<w,x \right>}) k(x)}\,dx \geq 0$ ;

9. Степенной ряд: Если $K_0$ – ядро, $f: \ \mathbb R \to \mathbb R$ – сходящийся степенной ряд с неотрицательными коэффициентами, тогда $K(x,x^{\prime}) = f(K_0(x,x^{\prime}))$ – ядро;

Этот список можно пополнять другими различными правилами. Обычно ядро выбирают, исходя из специфики задачи.

См. также

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:osa

Преподаватель: Участник:Константин Воронцов

Срок: 25 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%8F%D0%B4%D1%80%D0%B0»

Категория: Непроверенные учебные задания