Модель панельных данных с временны́ми эффектами

Материал из MachineLearning.

Версия от 12:57, 12 мая 2014; Riabenko (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Модель панельных данных с временны́ми эффектами ( time-varying model for panel data) опирается на структуру панельных данных, что позволяет учитывать неизмеримые индивидуальные различия объектов. Эти отличия называются эффектами. В данной модели эффекты объектов могут изменяться в каждый момент времени.

Содержание

1 Обозначения
2 Описание модели панельных данных с временны́ми эффектами
- 2.1 Понижение размерности. Исключение эффектов.
- 2.2 Оценка параметров модели
3 Сравнение с другими моделями
4 Проблемы
5 Литература
6 См. также
7 Ссылки

Обозначения

Введем обозначения:

$i = 1,...,n$ – номера объектов, $t = 1,...,T$ – моменты времени, $k$ – число признаков.

Для каждого объекта в каждый момент времени известны:

$x_{it}$ – набор независимых переменных (вектор размерности $k$ )
$y_{it}$ – зависимая переменная для экономической единицы $i$ в момент времени $t$

Описание модели панельных данных с временны́ми эффектами

В введенных обозначениях модель панельных данных с временны́ми эффектами описывается уравнением

(1)

$\widehat{y}_{it} = \alpha_i + \gamma_t + x'_{it} \beta$

Здесь $\widehat{y}_{it}$ модельное значение зависимой переменной, соответствующее ${y}_{it}$ . Величина $\alpha_i$ выражает индивидуальный эффект объекта $i$ , не зависящий от времени $t$ . Величина $\gamma_t$ выражает зависимость индивидуального эффекта объекта $i$ от времени $t$ ( будем считать, что всегда $\gamma_1 = 1$ ). При этом регрессоры $x_{it}$ не содержат константу .

Параметры модели: $\beta \in \mathbb{R}^k, \alpha_i \in \mathbb{R} (i=1,...,n), \gamma_t \in \mathbb{R} (i=2,...,T)$ .

Понижение размерности. Исключение эффектов.

Для панельных данных типична ситуация, когда число объектов $n$ достаточно велико. Поэтому, применяя непосредственно метод наименьших квадратов к уравнению (1), при оценивании параметров можно столкнуться с вычислительными проблемами. Их можно преодолеть, исключая из рассмотрения индивидуальные эффекты $\alpha_i \cdot \gamma_t$ . При этом мы понижаем размерность задачи с $(n+k+T-1)$ до $k$ .

Наиболее простой способ – переход в уравнении (1) к средним величинам по времени и по множеству объектов :

(2)

$\overline{y_i}= \alpha_i + \overline{\gamma} + \overline{x'_i} \cdot \beta$ ,

где $\overline{y_i} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T y_{it},\; \overline{x_i} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T x_{it},\; \overline{\gamma} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \gamma_t$ ;

(3)

$\overline{y_t}= \overline{\alpha} + \gamma_t + \overline{x'_t} \cdot \beta$ ,

где $\overline{y_t} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_{it},\; \overline{x_t} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{it},\; \overline{\alpha} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \alpha_i$

(4)

$\overline{y}= \overline{\alpha} + \overline{\gamma} + \overline{x'} \cdot \beta$ ,

где $\overline{y} = \frac{1}{nT} \sum_{i=1}^n \sum_{t=1}^T y_{it},\; \overline{x} = \frac{1}{nT} \sum_{i=1}^n\sum_{t=1}^T x_{it},\;$

Из (1),(2),(3),(4) получаем:

(5)

$\widehat{y}_{it} - \overline{y_i} - \overline{y_t} + \overline{y}= (x_{it} - \overline{x_i} - \overline{x_t} + \overline{x})' \cdot \beta$ .

Данная модель уже не зависит от эффектов $\alpha_i \cdot \gamma_t$ .

Оценка параметров модели

Применяя обычный метод наименьших квадратов к уравнению (5), можно получить оценки

$\widehat{\beta} = \left((x_{it} - \overline{x_i} - \overline{x_t} + \overline{x}) \cdot (x_{it} - \overline{x_i} - \overline{x_t} + \overline{x})'\right)^{-1} \cdot \sum_{i=1}^n \sum_{t=1}^T (x_{it} - \overline{x_i} - \overline{x_t} + \overline{x}) \cdot (y_{it} - \overline{y_i} - \overline{y_t} + \overline{y})$ .

Сравнение с другими моделями

Заметим, что если в рассмотренной модели все коэффициенты $\gamma_t = 1 (t = 1,...,T)$ , то получим Модель панельных данных с фиксированными эффектами. На практике, чтобы понять, какая из этих двух моделей адекватнее, можно проверить гипотезу $\mathbb{H}_0:\gamma_1 = ... = \gamma_T = 1$ . Обычно для этого используют F-тест.

Проблемы

Для устойчивости данной модели необхоимо, чтобы значения $\gamma_t$ изменялись плавно. Для этого используют регуляризацию:

$\sum_{i=1}^n \sum_{t=1}^T( \widehat{y}_{it} - y_{it} )^2 + \lambda \sum_{t=2}^T( \gamma_t - \gamma_{t-1} )^2 \longrightarrow \underset{\alpha, \beta , \gamma} \min$

Тогда, чем больше значение $\lambda$ , тем более гладко изменяется $\gamma_t$ . Для выбора значения $\lambda$ можно использовать метод скользящего контроля.