Критерий хи-квадрат

Материал из MachineLearning.

Версия от 11:18, 7 декабря 2008; Венжега Андрей (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Определение
2 Проверка гипотезы
3 Сложная гипотеза
4 Теорема Фишера
5 Литература
6 Ссылки

Статья в настоящий момент дорабатывается.
Венжега Андрей 00:08, 14 ноября 2008 (MSK)

Определение

Пусть дана случайная величина X .

Гипотеза $H_0$ : с. в. X подчиняется закону распределения $F(x)$ .

Для проверки гипотезы рассмотрим выборку, состоящую из n независимых наблюдений над с.в. X: $X^n = \left( x_1, \cdots \x_n \right), \; x_i \in \left[ a, b \right], \; \forall i=1 \dots n$ . По выборке построим эмпирическое распределение $F^*(x)$ с.в X. Сравнение эмпирического $F^*(x)$ и теоретического распределения $F(x)$ производится с помощью специально подобранной случайной величины — критерия согласия. Рассмотрим критерий согласия Пирсона (критерий $\chi^2$ ):

Гипотеза $H_0^*$ : Хⁿ порождается функцией $F^*(x)$ .

Разделим [a,b] на k непересекающихся интервалов $(a_i, b_i], \; i=1 \dots k$ ;

Пусть $n_j$ - количество наблюдений в j-м интервале: $n_j = \sum_{i=1}^n \left[ a_i <x \leq b_i \right]$ ;

$p_j = F(b_j)-F(a_j)$ - вероятность попадания наблюдения в j-ый интервал при выполнении гипотезы $H_0^*$ ;

$E_j = np_j$ Ожидаемое число попаданий в j-ый интервал;

Статистика: $\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-1}^2$ - Распределение хи-квадрат с k-1 степенью свободы.

Критерий $\chi^2$ - наиболее часто используемый статистический критерй для проверки гипотезы $H_0$ , что наблюдаемая случайная величина подчиняется некому теоретическому закону распределению.