Методы оптимизации в машинном обучении (курс лекций)/2016
Материал из MachineLearning.
Настройка модели алгоритмов по данным — это задача оптимизации, от эффективности решения которой зависит практическая применимость метода машинного обучения. В эпоху больших данных многие классические алгоритмы оптимизации становятся неприменимы, т.к. здесь требуется решать задачи оптимизации функций за время меньшее, чем необходимо для вычисления значения функции в одной точке. Таким требованиям можно удовлетворить в случае грамотного комбинирования известных подходов в оптимизации с учётом конкретной специфики решаемой задачи. Курс посвящен изучению классических и современных методов решения задач непрерывной оптимизации (в том числе невыпуклой), а также особенностям применения этих методов в задачах оптимизации, возникающих в машинном обучении. Наличие у слушателей каких-либо предварительных знаний по оптимизации не предполагается, все необходимые понятия разбираются в ходе занятий. Основной акцент в изложении делается на практические аспекты реализации и использования методов. Целью курса является выработка у слушателей навыков по подбору подходящего метода для своей задачи, наиболее полно учитывающего её особенности. Курс рассчитан на студентов старших курсов и аспирантов. Знание основ машинного обучения приветствуется, но не является обязательным — все необходимые понятия вводятся в ходе лекций.
Лектор: Д.А. Кропотов
Семинарист: А.О. Родоманов
Вопросы и комментарии по курсу просьба адресовать письмом на bayesml@gmail.com. В название письма просьба добавлять [МОМО16].
Занятия проходят на ВМК по понедельникам в ауд. 612, лекция с 10-30 до 12-05, семинар с 12-15 до 13-50.
Система выставления оценок по курсу
В рамках курса предполагается четыре практических задания, несколько домашних заданий и экзамен. Каждое задание и экзамен оцениваются по пятибалльной шкале. В итоговой оценке 45% составляют баллы за практические задания, 25% — баллы за домашние задания и 30% — оценка за экзамен. Для получения финального результата (0, 3, 4, 5) итоговая оценка по курсу округляется в большую сторону. За каждый день просрочки при сдаче практического задания начисляется штраф 0.1 балла, но суммарно не более 3 баллов.
Домашние задания
Задание 1. Скорости сходимости итерационных процессов. Срок сдачи: 12 сентября (понедельник), 10:30.
Практические задания
Расписание
В осеннем семестре 2016 года спецкурс читается на
| Дата | Занятие | Материалы |
|---|---|---|
| 5 сентября 2016 | Введение в курс. Скорости сходимости итерационных процессов оптимизации | |
| 12 сентября 2015 | Методы одномерной оптимизации | Текст |
Программа курса
Основные понятия и примеры задач
- Градиент и гессиан функции многих переменных, их свойства, необходимые и достаточные условия безусловного экстремума;
- Матричные разложения, их использование для решения СЛАУ;
- Структура итерационного процесса в оптимизации, понятие оракула, критерии останова;
- Глобальная и локальная оптимизация, скорости сходимости итерационных процессов оптимизации.
Методы одномерной оптимизации
- Минимизация функции без производной: метод золотого сечения, метод парабол;
- Гибридный метод минимизации Брента;
- Методы решения уравнения
: метод деления отрезка пополам, метод секущей;
- Минимизация функции с известной производной: кубическая аппроксимация и модифицированный метод Брента;
- Поиск ограничивающего сегмента;
- Условия Армихо и Вольфа для неточного решения задачи одномерной оптимизации;
- Неточные методы одномерной оптимизации, backtracking.
Методы многомерной оптимизации
- Методы линейного поиска и доверительной области;
- Метод градиентного спуска: наискорейший спуск, спуск с неточной одномерной оптимизацией, скорость сходимости метода для сильно-выпуклых функций с липшицевым градиентом, зависимость от шкалы измерений признаков;
- Метод Ньютона: схема метода, скорость сходимости для выпуклых функций с липшицевым гессианом, подбор длины шага, способы коррекции гессиана до положительно-определённой матрицы;
- Метод сопряженных градиентов для решения систем линейных уравнений, скорость сходимости метода, предобуславливание;
- Метод сопряженных градиентов для оптимизации неквадратичных функций, стратегии рестарта, зависимость от точной одномерной оптимизации;
- Неточный (безгессианный) метод Ньютона: схема метода, способы оценки произведения гессиана на вектор через вычисление градиента;
- Квазиньютоновские методы оптимизации: SR1, BFGS и L-BFGS.
Методы внутренней точки
- Необходимые и достаточные условия оптимальности в задачах условной оптимизации, условия Куна-Таккера;
- Выпуклые задачи условной оптимизации, двойственная функция Лагранжа, двойственная задача оптимизации;
- Решение задач условной оптимизации с линейными ограничениями вида равенство, метод Ньютона;
- Прямо-двойственный метод Ньютона, неточный вариант метода;
- Метод логарифмических барьерных функций;
- Прямо-двойственный метод внутренней точки;
- Методы первой фазы.
Разреженные методы машинного обучения
- Модели линейной/логистической регрессии с регуляризациями L1 и L1/L2;
- Понятие субградиента выпуклой функции, его связь с производной по направлению, необходимое и достаточное условие экстремума для выпуклых негладких задач безусловной оптимизации;
- Метод наискорейшего субградиентного спуска;
- Проксимальный метод, вычисление prox-оператора для L1- и L1/L2-регуляризаторов.
Стохастическая оптимизация
- Задачи минимизации среднего и эмпирического риска;
- Метод стохастического градиентного спуска, две фазы итерационного процесса, использование инерции;
- Метод SAG;
- Комбинирование стохастической оптимизации и проксимального метода.
Суррогатная оптимизация
- Вероятностная модель логистической регрессии;
- Общая идея метода суррогатной оптимизации;
- Применение метода для стохастической оптимизации: метод MISO;
- Пример применения метода для обучения LASSO;
- Построение глобальных оценок с помощью неравенства Йенсена, ЕМ-алгоритм, его применение для вероятностной модели логистической регрессии;
- Построение оценок с помощью касательных и замены переменной;
- Оценка Jaakkola-Jordan для логистической функции, её применение для обучения вероятностной модели логистической регрессии;
- Выпукло-вогнутая процедура, примеры использования.
Методы оптимизации для глубинного обучения
- Адаптивная стратегия Левенберга-Марквардта для задачи минимизации суммы квадратов;
- Модель глубинного автокодировщика;
- Алгоритм обратного распространения ошибки и его обобщения для быстрого умножения гессиана на произвольный вектор;
- Неточный метод Ньютона с предобуславливанием через L-BFGS.
Литература
- Optimization for Machine Learning. Edited by Suvrit Sra, Sebastian Nowozin and Stephen J. Wright, MIT Press, 2011.
- J. Nocedal, S.J. Wright. Numerical Optimization. Springer, 2006.
- S. Boyd, L. Vandenberghe. Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004.
- A. Antoniou, W.-S. Lu. Practical Optimization: Algorithms and Engineering Applications, Springer, 2007.
- Б. Поляк. Введение в оптимизацию, Наука, 1983.
- Ю. Нестеров. Методы выпуклой оптимизации, МЦМНО, 2010.
- R. Fletcher. Practical Methods of Optimization, Wiley, 2000.
- Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 2007.
Архив
См. также
Курс «Байесовские методы в машинном обучении»
