Критерий хи-квадрат

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Критерий \chi^2 - статистический критерий для проверки гипотезы H_0, что наблюдаемая случайная величина подчиняется некому теоретическому закону распределения.

Определение

Пусть дана случайная величина X .

Гипотеза H_0 : с. в. X подчиняется закону распределения F(x).

Для проверки гипотезы рассмотрим выборку, состоящую из n независимых наблюдений над с.в. X: X^n = \left( x_1, \cdots x_n \right), \; x_i \in \left[ a, b \right], \; \forall i=1 \dots n . По выборке построим эмпирическое распределение F^*(x) с.в X. Сравнение эмпирического F^*(x) и теоретического распределения F(x) (предполагаемого в гипотезе) производится с помощью специально подобранной функции — критерия согласия. Рассмотрим критерий согласия Пирсона (критерий \chi^2):

Гипотеза H_0^* : Хn порождается функцией F^*(x).

Разделим [a,b] на k непересекающихся интервалов (a_i, b_i], \; i=1 \dots k;

Пусть n_j - количество наблюдений в j-м интервале: n_j = \sum_{i=1}^n \left[ a_j <x_i \leq b_j \right] ;

p_j = F(b_j)-F(a_j) - вероятность попадания наблюдения в j-ый интервал при выполнении гипотезы H_0^* ;

E_j = np_j - ожидаемое число попаданий в j-ый интервал;

Статистика: \chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-1}^2 - Распределение хи-квадрат с k-1 степенью свободы.

Проверка гипотезы H_0

Распределение хи-квадрат
Распределение хи-квадрат

В зависимости от значения критерия \chi^2, гипотеза H_0 может приниматься, либо отвергаться:

  • \chi^2_1 < \chi^2 < \chi^2_2, гипотеза H_0 выполняется.
  • \chi^2 \leq \chi^2_1 (попадает в левый "хвост" распределения). Следовательно, теоретические и практические значения очень близки. Если, к примеру, происходит проверка генератора случайных чисел, который сгенерировал n чисел из отрезка [0,1] и гипотеза H_0: выборка X^n распределена равномерно на [0,1], тогда генератор нельзя называть случайным (гипотеза случайности не выполняется), т.к. выборка распределена слишком равномерно, но гипотеза H_0 выполняется.
  • \chi^2 \geq \chi^2_2 (попадает в правый "хвост" распределения) гипотеза H_0 отвергается.

Пример 1

Проверим гипотезу H_0: если взять случайную выборку 100 человек из всего населения острова Кипр (генеральной совокупности), где количество мужчин и женщин примерно одинаково (встречаются с одинаковой частотой), то в наблюдаемой выборке отношение количества мужчин и женщин будет соотноситься с частотой как и во всей генеральной выборке(50/50). Пусть в наблюдаемой выборке 46 мужчин и 54 женщины, тогда число степеней свобод k-1=2-1=1 и

\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j}= \frac{\left(46-50 \right)^2}{50}+\frac{\left(54-50 \right)^2}{50}=0,64

Т.о. при уровне значимости \alpha=0.05 о выполнении гипотезы H_0 ничего сказать нельзя т.к. значение \chi^2> \chi_{0.05,1}^2 (см. Таблицу распределения \chi^2_1).

Сложная гипотеза

Гипотеза H_0^*: Хn порождается функцией F(x,\theta),\; \theta \in R^d,\; \theta - неизвестный параметр. Найдем приближенное значение параметра \hat{\theta} с помощью метода максимального правдоподобия, основанного на частотах (фиксируем интервалы \left(a_j,b_j \right] для j=1 \dots k).

n_j = \sum_{i=1}^n \left[ a_j <x_i \leq b_j \right] - число попаданий значений элементов выборки в j-ый интервал.

p_j(\theta)=F(b_j,\theta)-F(a_j,\theta),

\hat{\theta} = \arg \max_{\theta} \sum n_j \ln p_j(\theta)


Теорема Фишера Для проверки сложной гипотезы критерий \chi^2 представляется в виде:

\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j} \sim \chi_{k-d-1}^2, где E_j=n p_j\left(\hat{\theta}\right)

Пример 2

Задача о бомбардировках Лондона [Лагутин, Т2]. Задача возникла в связи с бомбардировками Лондона во время Второй мировой войны. Для улучшения организации оборонительных мероприятий, необходимо было понять цель противника. Для этого территорию города условно разделили сеткой из 24-ёх горизонтальных и 24-ёх вертикальных линий на 576 равных участков. В течении некторого времени в центре организации обороны города собиралась информация о количестве попаданий снарядов в каждый из участков. В итоге были получены следующие данные:

Число попаданий 0 1 2 3 4 5 6 7
Количество участков 229 211 93 35 7 0 0 1

Гипотеза H_0: стрельба случайна (нет "целевых" участков).

Закон редких событий (распределение Пуассона)

P\{S=j\}=\frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}, где S - число попаданий, \hat{\lambda}=0.924.

\chi^2 = \sum_{j=1}^k \frac{ \left( n_j-E_j \right)^2}{E_j}= 32.6 \sim \chi_{8-1-1}^2

Тогда при уровне значимости \alpha=0.05 гипотеза H_0 не выполняется (см. таблицу значений ф-ии \chi^2_6).

Объединим события (4,5,6,7) с малой частотой попаданий в одно, тогда имеем:

Число попаданий 0 1 2 3 4-7
Количество участков 229 211 93 35 8

\chi^2 = 1.05 \sim \chi_{5-1-1}^2, тогда при \alpha=0.05 гипотеза H_0 верна.

Проблемы

Критерий \chi^2 ошибается на выборках с низкочастотными (редкими) событиями. Решить эту проблему можно отбросив низкочастотные события, либо объединив их с другими событиями. Этот способ называется коррекцией Йетса (Yates' correction).

Литература

Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. (стр. 204,316) — Киев: Морион, 2002.

Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. (Том 2, стр. 174) — М.: П-центр, 2003.

Кулаичев А. П. Методы и средства комплексного анализа данных. (стр. 162) — М.: Форум–Инфра-М, 2006.

Ссылки

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D1%85%D0%B8-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82»
Личные инструменты