Вероятностное пространство

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 17:04, 2 ноября 2009

Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство - это тройка $(\Omega,\mathcal{F},P)$ , где:

$\Omega$ - это множество объектов $\omega\in\Omega$ , называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество $\Omega$ необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения "произвести случайный опыт" означает в точности указать один элементарный исход $\omega$ , который произошел в данной реализации опыта.

- это некоторая зафиксированная система подмножеств , которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие , то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, т.е. удовлетворять следующим свойствам:
- Пустое множество $\emptyset$ должно быть событием, т.е. принадлежать $\mathcal{F}$ . Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
- Все множество $\Omega$ также должно быть событием: $\Omega\in\mathcal{F}$ . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
- Совокупность событий $\mathcal{F}$ должна образовывать алгебру, т.е. быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если $A\in\mathcal{F}$ и $B\in\mathcal{F}$ , тогда должно быть $A\cup B\in\mathcal{F}$ , $A\cap B\in\mathcal{F}$ , $\overline{A}\in\mathcal{F}$ . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
- В дополнение к указанным свойствам, система $\mathcal{F}$ должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ , тогда должно быть $\bigcup_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}$ и $\bigcap_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}$ .

- это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число , которое называется вероятностью события . Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, т.е. обладать свойствами:
- $0\le P(B)\le 1$ для любого $B\in \mathcal{F}$
- $P(\emptyset)=0$ , $P(\Omega)=1$
- Если $A\in\mathcal{F}$ и $B\in\mathcal{F}$ - события, причем $A\cap B=\emptyset$ , тогда $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (свойство аддитивности).
- Если $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ , причем Если $B_i\cap B_j=\emptyset$ для любых Если $i\ne j$ , тогда должно быть $P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)$ (свойство сигма-аддитивности).

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов $\Omega$ конечно или счетно: $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}$ , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества $\Omega$ . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу $\omega_i$ число $p_i\ge 0$ так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события $B$ определяется следующим образом:

$P(B)=\sum_{i:\omega_i\in B}p_i.$

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE»

Категория: Материалы по теории вероятностей

@@ Строка 21: / Строка 21: @@
 **Если <tex>A\in\mathcal{F}</tex> и <tex>B\in\mathcal{F}</tex> - события, причем <tex>A\cap B=\emptyset</tex>, тогда <tex>P(A\cup B)=P(A)+P(B)</tex> (свойство аддитивности).
 **Если <tex>\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}</tex>, причем Если <tex>B_i\cap B_j=\emptyset</tex> для любых Если <tex>i\ne j</tex>, тогда должно быть <tex>P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)</tex> (свойство сигма-аддитивности).
+==Дискретные вероятностные пространства==
+Если множество элементарных исходов <tex>\Omega</tex> конечно или счетно: <tex>\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}</tex>, то соответствующее вероятностное пространство называется ''дискретным''. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества <tex>\Omega</tex>. В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу <tex>\omega_i</tex> число <tex>p_i\ge 0</tex> так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события <tex>B</tex> определяется следующим образом:
+<tex>P(B)=\sum_{i:\omega_i\in B}p_i.</tex>
 [[Категория:Материалы по теории вероятностей]]

Вероятностное пространство

Материал из MachineLearning.

Версия 17:04, 2 ноября 2009

Определение

Дискретные вероятностные пространства

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты