Вероятностное пространство

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Pavel Vilenkin (Обсуждение | вклад)
(Новая: Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматик...)
К следующему изменению →

Версия 14:05, 2 ноября 2009

Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство - это тройка $(\Omega,\mathcal{F},P)$ , где:

$\Omega$ - это множество объектов $\omega\in\Omega$ , называемых элементарными исходами эксперимента. На это множество не накладывается никаких условий, оно может быть совершенно произвольным. При задании вероятностной модели для конкретного случайного эксперимента множество $\Omega$ необходимо определять таким образом, чтобы в любой реализации опыта происходил один и только один элементарный исход. Элементарный исход содержит в себе всю возможную информацию о результате случайного опыта. С формальной математической точки зрения "произвести случайный опыт" означает в точности указать один элементарный исход $\omega$ , который произошел в данной реализации опыта.

- это некоторая зафиксированная система подмножеств , которые будут называться (случайными) событиями. Если элементарный исход, произошедший в результате реализации случайного опыта, входит в событие , то говорят, что в данной реализации событие произошло, иначе говорят, что событие не произошло. Совокупность событий должна быть сигма-алгеброй, т.е. удовлетворять следующим свойствам:
- Пустое множество $\emptyset$ должно быть событием, т.е. принадлежать $\mathcal{F}$ . Это событие, которое существует в любом вероятностном пространстве, называется невозможным, поскольку оно никогда не происходит.
- Все множество $\Omega$ также должно быть событием: $\Omega\in\mathcal{F}$ . Это событие называется достоверным, так как происходит при любой реализации случайного опыта.
- Совокупность событий $\mathcal{F}$ должна образовывать алгебру, т.е. быть замкнутой относительно основных теоретико-множественных операций, выполняемых над конечным числом событий. Если $A\in\mathcal{F}$ и $B\in\mathcal{F}$ , тогда должно быть $A\cup B\in\mathcal{F}$ , $A\cap B\in\mathcal{F}$ , $\overline{A}\in\mathcal{F}$ . Операции над событиями имеют очевидный содержательный смысл.
- В дополнение к указанным свойствам, система $\mathcal{F}$ должна быть замкнута относительно операций над событиями, выполняемых в счетном числе (свойство сигма-алгебры). Если $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ , тогда должно быть $\bigcup_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}$ и $\bigcap_{i=1}^\infty B_i\in\mathcal{F}$ .

- это числовая функция, которая определена на и ставит в соответствие каждому событию число , которое называется вероятностью события . Эта функция должна быть конечной сигма-аддитивной мерой, равной 1 на всем пространстве, т.е. обладать свойствами:
- $0\le P(B)\le 1$ для любого $B\in \mathcal{F}$
- $P(\emptyset)=0$ , $P(\Omega)=1$
- Если $A\in\mathcal{F}$ и $B\in\mathcal{F}$ - события, причем $A\cap B=\emptyset$ , тогда $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (свойство аддитивности).
- Если $\{B_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{F}$ , причем Если $B_i\cap B_j=\emptyset$ для любых Если $i\ne j$ , тогда должно быть $P\left(\bigcup_{i=1}^\infty B_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(B_i)$ (свойство сигма-аддитивности).