Поиск нелинейной модели поверхности Мохоровичича (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск

Almaf (Обсуждение | вклад)
(Новая: '''Поиск нелинейной модели поверхности раздела пород земной коры.''' == Аннотация == Рассматривается зад...)
К следующему изменению →

Версия 02:16, 8 декабря 2010

Поиск нелинейной модели поверхности раздела пород земной коры.

Содержание

[убрать]

Аннотация

Рассматривается задача восстановления функциональной зависимости глубины прохождения поверхности раздела пород земной коры от значений поля силы тяжести на определенных высотах. На вид зависимости накладываются ограничения в силу особенностей задачи. Применяется символьная регрессия и метод полного перебора суперпозиций, полученных из заданного набора функций. Построен алгоритм нахождения парето-оптимального фронта по совокупности критериев качества.

Постановка задачи

Имеется несколько точек $\{(y_i,z_i)\}_{i=1}^L$ на поверхности Земли. Каждой точке сопоставлен вектор значений силы тяжести $\mathbf{x}_i=(g^{i}_{1},\ldots,g^{i}_{k})$, измеренной на~заданных высотах $1,\ldots,k$, а также глубина границы раздела: $$\mathbb{X} = (\mathbf{x}_{1},\ldots,\mathbf{x}_{L})$$, $$\mathbb{H} = (H_{1},\ldots,H_{L})$$. Здесь $L$ - количество точек, в которых известна глубина прохождения границы раздела, $k$ - число измерений силы тяжести в каждой точке.

Кроме того, имеется множество точек, на которых известны только векторы значений силы тяжести $\mathbf{X}$. Требуется построить функцию $h(g_{1},\ldots,g_{k})$, которая позволяет вычислять значение глубины раздела слоёв по~значениям сил тяжести и вычислить её на~заданном множестве точек.

Требуется найти $\{\widehat{h}^j(g_1,\ldots,g_k)\} _{j\in P} =\{\left.h_{s^*_j}(\mathbf{w},g_1,\ldots,g_k)\right| _{\mathbf{w} = \mathbf{w^*_j}}\} _{j\in P}$ , где \widehat{h}\in\mathfrak{F}, \mathfrak{F} - множество k-местных непрерывных, монотонных функций действительной переменной, h_s\in\mathfrak{F_1}, \mathfrak{F_1} - множество функций из \mathfrak{F}, зависящих дополнительно от вектора параметров, s\in\mathfrak{S} - множество индексов функций множества \mathfrak{F_1}, \mathbf{w} - настраиваемый вектор параметров, \mathbf{w}\in\mathfrak{W}(s), \mathfrak{W}(s) - множество допустимых векторов параметров функции h_s.

Запишем сумму квадратов регрессионных остатков $$R_J(h_s) = \frac{1}{|J|}\sum_{i \in J}\left(h_s(\mathbf{w},\mathbf{x}_i)-h^{*}(\mathbf{x}_i)\right)^2$$, где $(\mathbf{x}_i = ng^{i}_{1},\ldots,g^{i}_{k})$, $h^{*}(\mathbf{x}_i) = H_i\in\mathbb{H}$, $J$ - множество индексов объектов, по которым считается сумма, $J = \{1\ldots L\}$.

Используются следующие критерии качества.

Переобученность $Q$ модели. Мы будем разбивать выборку $\mathbb{X}$ на обучающую $X^l$ и контрольную $X^m$, $\mathbb{X} = X^l\sqcup X^m$. Пусть $J_l$ и $J_m$ - множества индексов объектов обучающей и контрольной выборок, тогда $J = J_l\sqcup J_m$, где $J$ - множество индексов всех объектов выборки. Вектор параметров модели $\mathbf{w}$ будет настраиваться по минимизации функционала $R_{J_l}(h_s(\mathbf{w},g_1,\ldots,g_k))$, а значение $Q$ критерия будет вычислено по байесовскому информационному критерию BIC: $Q = L\ln\left(R_J(h_s(\mathbf{w^{*}},g_1,\ldots,g_k))\right)+d^2\ln(L)$, где $d$ - длина вектора $\mathbf{w}$.

Простота модели $C$ будет вычислена как число поддеревьев дерева суперпозиции.

Качество приближения данных будет вычислено как средняя сумма квадратов регрессионных остатков $R_{J_m}$ на контрольной подвыборке.

Множество \{h_s^j\}_{j\in P} - парето-оптимальное множество по совокупности критериев качества: \{s\in\mathfrak{S}| POF(h_s) = 1\}, где POF(h_s) - номер парето-слоя, в котором лежит модель с индексом s и вектором параметров, настроенным по минимизации суммы квадратов регрессионных остатков на обучающей подвыборке: \mathbf{w^{*}} = \arg\min_{\mathbf{w}\in\mathfrak{W}(s)}R_{J_l}(h_s). Для каждой h_{s^*_j} вектор параметров находится как \mathbf{w^{*}_j} = \arg\min_{\mathbf{w}\in\mathfrak{W}(s^*_j)}R_{J_l}(h_{s^*_j}).

Пути решения задачи

Порождение суперпозиций функций набора методом полного перебора. Каждой суперпозиции можно поставить в соответствие дерево, в вершинах которого стоят функции набора, в листьях - аргументы, а ребро, связывающее вершины означает, что функция, соответствующая вершине-потомку подается в качестве аргумента на вход функции, соответствующей вершине-предку. Метод заключается в том, чтобы перебрать все возможные суперпозиции функций набора вплоть до определенной глубины/длины. В нашей задаче, поскольку $h = h(g_{1},\ldots,g_{k})$, будем осуществлять перебор среди суперпозиций, в которых на месте самых нижних функций (листьев дерева суперпозиции) стоят дискретные функции $g_{1},\ldots,g_{k}$.

Смотри также


Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Александр Мафусалов
Преподаватель: В.В.Стрижов
Срок: 24 декабря 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA_%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%9C%D0%BE%D1%85%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B8%D1%87%D0%B0_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»
Личные инструменты