Биномиальное распределение

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Асимптотические приближения при больших n: уточнение)
Строка 30: Строка 30:
<tex>|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le 2np^2.</tex>
<tex>|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le 2np^2.</tex>
 +
 +
Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].
 +
 +
'''Приближение нормальным распределением''' используется в ситуациях, когда <tex>n\to\infty</tex>, а <tex>p</tex> фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении <tex>X</tex> в виде суммы <tex>n</tex> слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины
 +
 +
<tex>X'=\frac{X-MX}{\sqrt{DX}}=\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}</tex>
 +
 +
близко к стандартному нормальному.
 +
 +
'''Локальная теорема Муавра-Лапласа''' используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям <tex>k</tex>, таким что <tex>|k-np|=o(np(1-p))^{2/3}</tex>, имеет место
 +
 +
<tex>P(X=k)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}e^{-\frac{(k-np)^2}{2np(1-p)}}=\frac{1}{\sqrt{np(1-p)}}\varphi\left(\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right),</tex> где <tex>\varphi</tex> - плотность стандартного нормального распределения.
 +
 +
 +
 +
==Литература==
 +
1. {{книга
 +
|автор = Ширяев А.Н.
 +
|заглавие = Вероятность
 +
|год = 2004
 +
|место = М.
 +
|издательство = МЦНМО
 +
}}
 +
== Ссылки ==
== Ссылки ==

Версия 10:00, 3 ноября 2009

Содержание

Определение

Биномиальное распределение - дискретное распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения k=0,1,\ldots,n с вероятностями:

P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}.

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом n>0, называемым числом испытаний, и вещественным числом p, 0\le p\le 1, называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение - одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью p, то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы X=X_1+\cdots+X_n независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства

Характеристическая функция \phi(t)=(1+p(e^{it}-1))^n

Моменты:

  • Математическое ожидание: MX=np
  • Дисперсия: DX=np(1-p)
  • Асимметрия: \gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}; при p=0.5 распределение симметрично относительно центра n/2

Асимптотические приближения при больших n

Если значения n велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения n большие, а значения p близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром \lambda=np.

Строгая формулировка: если n\to\infty и p\to 0 таким образом, что np\to\lambda, то

P(X=k)\to\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,2,\ldots.

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть Y - случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром \lambda=np. Тогда для произвольного множества B\subset\{0,1,2,\ldots\} справедливо неравенство:

|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le 2np^2.

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].

Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда n\to\infty, а p фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении X в виде суммы n слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

X'=\frac{X-MX}{\sqrt{DX}}=\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям k, таким что |k-np|=o(np(1-p))^{2/3}, имеет место

P(X=k)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}e^{-\frac{(k-np)^2}{2np(1-p)}}=\frac{1}{\sqrt{np(1-p)}}\varphi\left(\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right), где \varphi - плотность стандартного нормального распределения.


Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.


Ссылки

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5»
Личные инструменты