Неравенство Бонферрони

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 +
{{Заготовка}}
 +
Частным случаем '''неравенства Бонферрони''' является '''неравенство Буля''' (известное так же как '''union bound'''). Оно утверждает, что для конечного множества событий вероятность того, что реализуется хотя бы одно из них, не превосходит суммы вероятностей самих событий.
Частным случаем '''неравенства Бонферрони''' является '''неравенство Буля''' (известное так же как '''union bound'''). Оно утверждает, что для конечного множества событий вероятность того, что реализуется хотя бы одно из них, не превосходит суммы вероятностей самих событий.
Строка 29: Строка 31:
При ''k'' = ''n'' неравенство превращается в точное равенство, известное как '''принцип включений-исключений'''.
При ''k'' = ''n'' неравенство превращается в точное равенство, известное как '''принцип включений-исключений'''.
 +
 +
== Применение ==
 +
[ToDo]
== Ссылки ==
== Ссылки ==
Эта статья содержит материал о [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6049 неравенстве Бонферрони] взятый с сайта [http://planetmath.org/ planetmath.org].
Эта статья содержит материал о [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6049 неравенстве Бонферрони] взятый с сайта [http://planetmath.org/ planetmath.org].

Версия 16:57, 24 ноября 2008


Частным случаем неравенства Бонферрони является неравенство Буля (известное так же как union bound). Оно утверждает, что для конечного множества событий вероятность того, что реализуется хотя бы одно из них, не превосходит суммы вероятностей самих событий.

Таким образом для множества событий A1, A2, ..., An выполнено

P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) \leq \sum_i P\left(A_i\right).

Неравенство Бонферрони

Неравенство Буля можно обобщить, получив более точные оценки, называемые неравенствами Бонферрони.

Обозначим

S_1 = \sum_{i=1}^n P(A_i),
S_2 = \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j),

и для 2 < k ≤ n,

S_k = \sum P(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} ),

где суммирование идет по всем k-элементным подмножествам.

Тогда для нечетных k ≥ 1 выполнено

P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \leq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j,

а для четных k ≥ 2

P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \geq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j.

Неравенство Буля можно получить, положив k = 1.

При k = n неравенство превращается в точное равенство, известное как принцип включений-исключений.

Применение

[ToDo]

Ссылки

Эта статья содержит материал о неравенстве Бонферрони взятый с сайта planetmath.org.

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%91%D0%BE%D0%BD%D1%84%D0%B5%D1%80%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B8»
Личные инструменты