Метод релевантных векторов

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
{{Задание|Dimaleks|Константин Воронцов|{{дата|10|1|2009}}, а сейчас {{дата}}}}
{{Задание|Dimaleks|Константин Воронцов|{{дата|10|1|2009}}, а сейчас {{дата}}}}
 +
{{UnderConstruction|[[Участник:Dimaleks|Dimaleks]] 15:32, 7 января 2010 (MSK)}}
Метод релевантных векторов (RVM, Relevance vector machine) — алгоритм восстановления [[регрессия|регрессии]], основанный на Байесовском подходе. В методе используется обобщенная линейная модель с введенной регуляризацией, которая, в Байесовкой интерпретации, равносильна введению априорных распределений на вектор параметров. Главной особенностью является то, что все параметры регуляризируются независимо.
Метод релевантных векторов (RVM, Relevance vector machine) — алгоритм восстановления [[регрессия|регрессии]], основанный на Байесовском подходе. В методе используется обобщенная линейная модель с введенной регуляризацией, которая, в Байесовкой интерпретации, равносильна введению априорных распределений на вектор параметров. Главной особенностью является то, что все параметры регуляризируются независимо.
Строка 6: Строка 7:
*Имеется выборка <tex>\left(X,t\right) = \left{ \mathbf{x}_i ,t_i \right}^l_{i=1}</tex>, где вектор признаков <tex>\mathbf{x}_i \in \mathbb {R}^d</tex>, а целевая переменная <tex>t_i \in \mathbb {R}</tex>. Требуется для нового объекта <tex>\mathbf{x}_*</tex> предсказать значение целевой переменной <tex>t_*</tex>
*Имеется выборка <tex>\left(X,t\right) = \left{ \mathbf{x}_i ,t_i \right}^l_{i=1}</tex>, где вектор признаков <tex>\mathbf{x}_i \in \mathbb {R}^d</tex>, а целевая переменная <tex>t_i \in \mathbb {R}</tex>. Требуется для нового объекта <tex>\mathbf{x}_*</tex> предсказать значение целевой переменной <tex>t_*</tex>
*Предполагается, что <tex>t=f(\mathbf{x})+\varepsilon</tex>, где <tex>\varepsilon \sim \mathfrak{N}(\varepsilon|0,\sigma^2)</tex>, а
*Предполагается, что <tex>t=f(\mathbf{x})+\varepsilon</tex>, где <tex>\varepsilon \sim \mathfrak{N}(\varepsilon|0,\sigma^2)</tex>, а
 +
::<tex>f(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^m \omega_j\phi_j(\mathbf{x}) = \mathbf{\omega}^T\mathbf{\phi}(\mathbf{x})</tex>
::<tex>f(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^m \omega_j\phi_j(\mathbf{x}) = \mathbf{\omega}^T\mathbf{\phi}(\mathbf{x})</tex>
== Подход к решению ==
== Подход к решению ==
*Следуя байесовскому подходу, воспользуемся методом максимума апостериорной плотности:
*Следуя байесовскому подходу, воспользуемся методом максимума апостериорной плотности:
 +
::<tex>\mathbf{\omega}_{MP} = \arg\,\max_{\mathbf{\omega}}\,\,p(\mathbf{\omega} |X,\mathbf{t}) = \arg\,\max_{\mathbf{\omega}} \,\,p(\mathbf{t} |X,\mathbf{\omega}) p(\mathbf{\omega})</tex>
::<tex>\mathbf{\omega}_{MP} = \arg\,\max_{\mathbf{\omega}}\,\,p(\mathbf{\omega} |X,\mathbf{t}) = \arg\,\max_{\mathbf{\omega}} \,\,p(\mathbf{t} |X,\mathbf{\omega}) p(\mathbf{\omega})</tex>
 +
*Для получения разреженного решения введем в качестве априорного распределения на параметры <tex>\mathbf{\omega} </tex> нормальное распределение с диагональной матрицей ковариации '''с различными элементами на диагонали:'''
*Для получения разреженного решения введем в качестве априорного распределения на параметры <tex>\mathbf{\omega} </tex> нормальное распределение с диагональной матрицей ковариации '''с различными элементами на диагонали:'''
 +
::<tex>p(\mathbf{\omega} |\mathbf{\alpha}) = \mathfrak{N}(0,A^{-1})</tex>
::<tex>p(\mathbf{\omega} |\mathbf{\alpha}) = \mathfrak{N}(0,A^{-1})</tex>
-
Здесь <tex>A=\mbox{diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)</tex>. Такое априорное распределение соответствует независимой регуляризации вдоль каждого веса <tex>\omega_i </tex> со своим параметром регуляризации <tex>\alpha_i \ge 0 </tex>
+
 
 +
:Здесь <tex>A=\mbox{diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)</tex>. Такое априорное распределение соответствует независимой регуляризации вдоль каждого веса <tex>\omega_i </tex> со своим параметром регуляризации <tex>\alpha_i \ge 0 </tex>
*Для обучения модели (настройки параметров <tex>\mathbf{\omega} ,\sigma </tex>) воспользуемся идеей максимизации обоснованности:
*Для обучения модели (настройки параметров <tex>\mathbf{\omega} ,\sigma </tex>) воспользуемся идеей максимизации обоснованности:
 +
::<tex>p(\mathbf{t} |\mathbf{\alpha} ,\sigma^2) = \int p(\mathbf{t} |X,\mathbf{\omega}, \sigma^2)p(\mathbf{\omega} |\mathbf{\alpha} )d\mathbf{\omega} \to \max_{\mathbf{\alpha}, \sigma^2}</tex>
::<tex>p(\mathbf{t} |\mathbf{\alpha} ,\sigma^2) = \int p(\mathbf{t} |X,\mathbf{\omega}, \sigma^2)p(\mathbf{\omega} |\mathbf{\alpha} )d\mathbf{\omega} \to \max_{\mathbf{\alpha}, \sigma^2}</tex>
 +
 +
== Оптимизация обоснованности ==
 +
 +
*Заметив, что обоснованность является сверткой двух нормальных распределений, можно представить подынтегральную функцию по формуле Тейлора в точке максимума правдоподобия. Обозначив <tex>Q(\mathbf{\omega}) = p(\mathbf{t} |X,\mathbf{\omega}, \sigma^2)p(\mathbf{\omega} |\mathbf{\alpha} ) \mbox{, } H = \bigtriangledown\bigtriangledown\,\log Q(\mathbf{\omega}_{MP})</tex> после некоторых преобразований получим:
 +
::<tex>\int Q(\mathbf{\omega})d\mathbf{\omega} = \sqrt{\left(2\pi\right)^m}\frac{Q(\mathbf{\omega}_{MP})}{\sqrt{\det(-H)}}</tex>

Версия 12:32, 7 января 2010

Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Dimaleks
Преподаватель: Участник:Константин Воронцов
Срок: 10 января 2009, а сейчас 26 декабря 2024

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Статья в настоящий момент дорабатывается.
Dimaleks 15:32, 7 января 2010 (MSK)


Метод релевантных векторов (RVM, Relevance vector machine) — алгоритм восстановления регрессии, основанный на Байесовском подходе. В методе используется обобщенная линейная модель с введенной регуляризацией, которая, в Байесовкой интерпретации, равносильна введению априорных распределений на вектор параметров. Главной особенностью является то, что все параметры регуляризируются независимо.

Решаемая задача

  • Имеется выборка \left(X,t\right) = \left{ \mathbf{x}_i ,t_i \right}^l_{i=1}, где вектор признаков \mathbf{x}_i \in \mathbb {R}^d, а целевая переменная t_i \in \mathbb {R}. Требуется для нового объекта \mathbf{x}_* предсказать значение целевой переменной t_*
  • Предполагается, что t=f(\mathbf{x})+\varepsilon, где \varepsilon \sim \mathfrak{N}(\varepsilon|0,\sigma^2), а
f(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^m \omega_j\phi_j(\mathbf{x}) = \mathbf{\omega}^T\mathbf{\phi}(\mathbf{x})

Подход к решению

  • Следуя байесовскому подходу, воспользуемся методом максимума апостериорной плотности:
\mathbf{\omega}_{MP} = \arg\,\max_{\mathbf{\omega}}\,\,p(\mathbf{\omega} |X,\mathbf{t}) = \arg\,\max_{\mathbf{\omega}} \,\,p(\mathbf{t} |X,\mathbf{\omega}) p(\mathbf{\omega})
  • Для получения разреженного решения введем в качестве априорного распределения на параметры \mathbf{\omega} нормальное распределение с диагональной матрицей ковариации с различными элементами на диагонали:
p(\mathbf{\omega} |\mathbf{\alpha}) = \mathfrak{N}(0,A^{-1})
Здесь A=\mbox{diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_m). Такое априорное распределение соответствует независимой регуляризации вдоль каждого веса \omega_i со своим параметром регуляризации \alpha_i \ge 0
  • Для обучения модели (настройки параметров \mathbf{\omega} ,\sigma ) воспользуемся идеей максимизации обоснованности:
p(\mathbf{t} |\mathbf{\alpha} ,\sigma^2) = \int p(\mathbf{t} |X,\mathbf{\omega}, \sigma^2)p(\mathbf{\omega} |\mathbf{\alpha} )d\mathbf{\omega} \to \max_{\mathbf{\alpha}, \sigma^2}

Оптимизация обоснованности

  • Заметив, что обоснованность является сверткой двух нормальных распределений, можно представить подынтегральную функцию по формуле Тейлора в точке максимума правдоподобия. Обозначив Q(\mathbf{\omega}) = p(\mathbf{t} |X,\mathbf{\omega}, \sigma^2)p(\mathbf{\omega} |\mathbf{\alpha} ) \mbox{, } H = \bigtriangledown\bigtriangledown\,\log Q(\mathbf{\omega}_{MP}) после некоторых преобразований получим:
\int Q(\mathbf{\omega})d\mathbf{\omega} = \sqrt{\left(2\pi\right)^m}\frac{Q(\mathbf{\omega}_{MP})}{\sqrt{\det(-H)}}
Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2»
Личные инструменты