Биномиальное распределение

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

**Биномиальное распределение**
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$n \geq 0$ — число «испытаний» $0\leq p \leq 1$ — вероятность «успеха»
Носитель	$k \in \{0,\ldots,n\}\!$
Функция вероятности	${n \choose k}\,p^k q^{n-k} \!$
Функция распределения	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
Математическое ожидание	$np\!$
Медиана	одно из $\{[np]-1, [np], [np]+1\}$
Мода	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Дисперсия	$npq\!$
Коэффициент асимметрии	$\frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!$
Коэффициент эксцесса	$\frac{1-6pq}{npq}\!$
Информационная энтропия	$\frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right)$
Производящая функция моментов	$(q + pe^t)^n \!$
Характеристическая функция	$(q + pe^{it})^n \!$

Содержание

1 Определение
2 Основные свойства
3 Асимптотические приближения при больших
4 Литература
5 Ссылки

Определение

Биномиальное распределение — дискретное распределение вероятностей случайной величины $X,$ принимающей целочисленные значения $k=0,1,\ldots,n$ с вероятностями:

$P(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}.$

Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом $n>0,$ называемым числом испытаний, и вещественным числом $p,$ $0\le p\le 1,$ называемом вероятностью успеха в одном испытании. Биномиальное распределение — одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью $p,$ то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы $X=X_1+\cdots+X_n$ независимых слагаемых, имеющих распределение Бернулли.

Основные свойства

Характеристическая функция: $\phi(t)=(1+p(e^{it}-1))^n.$

Моменты:

Математическое ожидание: $MX=np.$
Дисперсия: $DX=np(1-p).$
Асимметрия: $\gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}};$ при $p=0.5$ распределение симметрично относительно центра $n/2.$

Асимптотические приближения при больших $n$

Если значения $n$ велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).

Приближение Пуассона

Приближение распределением Пуассона применяется в ситуациях, когда значения $n$ большие, а значения $p$ близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром $\lambda=np.$

Строгая формулировка: если $n\to\infty$ и $p\to 0$ таким образом, что $np\to\lambda,$ то

$P(X=k)\to\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0, 1, 2, \ldots$

Более того, справедлива следующая оценка. Пусть $Y$ — случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром $\lambda=np.$ Тогда для произвольного множества $B\subset\{0,1,2,\ldots\}$ справедливо неравенство:

$|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le 2np^2.$

Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].

Нормальное приближение

Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда $n\to\infty,$ а $p$ фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении $X$ в виде суммы $n$ слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины

$X'=\frac{X-MX}{\sqrt{DX}}=\frac{X-np}{\sqrt{npq},$ где $q=1-p,$

близко к стандартному нормальному.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям $k,$ таким что $|k-np|=o(npq)^{2/3},$ имеет место

$P(X=k)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}=\frac{1}{\sqrt{npq}}\varphi\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right),$

где $\varphi$ — плотность стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает нечасто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]:

$\sup_{-\infty\le a<b\le\infty}\left|P\left(a<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le b\right) - P(a<Z\le b)\right|\to 0$ при $n\to\infty,$

где случайная величина $Y$ имеет стандартное нормальное распределение $\mathcal{N}(0,1),$ и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле

$P(a<Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a),$

где $\Phi(t)$ — функция распределения стандартного нормального закона: $\Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^t e^{-t^2/2}\,dt.$

Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:

$\sup_{-\infty\le x\le\infty}|F_n(x)-\Phi(x)|\le\frac{p^2+q^2}{\sqrt{npq}},$

где $F_n(x)$ — функция распределения случайной величины $X'=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}.$ На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины $npq.$ Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.

Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений $n$ изменение будет невелико, однако для небольших $n$ это может внести дополнительную погрешность.

Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.

Пример

Пусть $n=20,$ $p=0.5.$ Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения $10$ не более чем на $3$ . Заметим, что значение $npq=5$ очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.

Точная вероятность рассматриваемого события равна

$P(7\le X\le 13)\approx 0.8846.$

Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):

$P(7\le X\le 13)=P(6<X\le 13)=P\left(\frac{6-10}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{13-10}{\sqrt{5}}\right)=P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3}{\sqrt{5}}\right)=\Phi\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) - \Phi\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\approx 0.8733.$

Ошибка приближения равна $0.0113$ .

Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:

$P(7\le X\le 13)=P(6.5<X< 13.5)=P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)=\Phi\left(\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right) - \Phi\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)\approx 0.8824.$

Ошибка приближения равна $0.0022$ — примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.

Литература

1. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.

Ссылки

Биномиальное распределение (Википедия)
Binomial distribution (Wikipedia)

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5»

Категория: Вероятностные распределения

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+{{Вероятностное распределение|
+  name       =Биномиальное распределение|
+  type       =Функция|
+  pdf_image  =[[Изображение:Binomial distribution pmf.svg|325px]]|
+  cdf_image  =[[Изображение:Binomial distribution cdf.svg|325px]]|
+  parameters =<tex>n \geq 0</tex> — число «испытаний»<br /><tex>0\leq p \leq 1</tex> — вероятность «успеха» |
+  support    =<tex>k \in \{0,\ldots,n\}\!</tex>|
+  pdf        =<tex>{n \choose k}\,p^k q^{n-k} \!</tex>|
+  cdf        =<tex>I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!</tex>|
+  mean       =<tex>np\!</tex>|
+  median     =одно из <tex>\{[np]-1, [np], [np]+1\}</tex>|
+  mode       =<tex>\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!</tex>|
+  variance   =<tex>npq\!</tex>|
+  skewness   =<tex>\frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!</tex>|
+  kurtosis   =<tex>\frac{1-6pq}{npq}\!</tex>|
+  entropy    =<tex> \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right) </tex>|
+  mgf        =<tex>(q + pe^t)^n \!</tex>|
+  char       =<tex>(q + pe^{it})^n \!</tex>|
+}}
 ==Определение==
-''Биномиальное распределение'' - дискретное распределение вероятностей [[случайная_величина|случайной величины]] <tex>X</tex>, принимающей целочисленные значения <tex>k=0,1,\ldots,n</tex> с вероятностями:
+''Биномиальное распределение'' &mdash; дискретное распределение вероятностей [[случайная_величина|случайной величины]] <tex>X,</tex> принимающей целочисленные значения <tex>k=0,1,\ldots,n</tex> с вероятностями:
-<tex>P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}</tex>.
+::<tex>P(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}.</tex>
-Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом <tex>n>0</tex>, называемым ''числом испытаний'', и вещественным числом <tex>p</tex>, <tex>0\le p\le 1</tex>, называемом ''вероятностью успеха в одном испытании''. Биномиальное распределение - одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из <tex>n</tex> независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью <tex>p</tex>, то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы <tex>X=X_1+\cdots+X_n</tex> независимых слагаемых, имеющих [[распределение Бернулли]].
+Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом <tex>n>0,</tex> называемым ''числом испытаний'', и вещественным числом <tex>p,</tex> <tex>0\le p\le 1,</tex> называемом ''вероятностью успеха в одном испытании''. Биномиальное распределение &mdash; одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из <tex>n</tex> независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью <tex>p,</tex> то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы <tex>X=X_1+\cdots+X_n</tex> независимых слагаемых, имеющих [[распределение Бернулли]].
 ==Основные свойства==
-[[Характеристическая функция]] <tex>\phi(t)=(1+p(e^{it}-1))^n</tex>
+[[Характеристическая функция]]: <tex>\phi(t)=(1+p(e^{it}-1))^n.</tex>
 [[Моменты случайной величины|Моменты]]:
-*Математическое ожидание: <tex>MX=np</tex>
+*Математическое ожидание: <tex>MX=np.</tex>
-*Дисперсия: <tex>DX=np(1-p)</tex>
+*Дисперсия: <tex>DX=np(1-p).</tex>
-*[[Асимметрия]]: <tex>\gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}</tex>; при <tex>p=0.5</tex> распределение симметрично относительно центра <tex>n/2</tex>
+*[[Асимметрия]]: <tex>\gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}};</tex> при <tex>p=0.5</tex> распределение симметрично относительно центра <tex>n/2.</tex>
-==Асимптотические приближения при больших n==
+==Асимптотические приближения при больших <tex>n</tex>==
 Если значения <tex>n</tex> велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно.
 В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа).
-'''Приближение распределением Пуассона''' применяется в ситуациях, когда значения <tex>n</tex> большие, а значения <tex>p</tex> близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром <tex>\lambda=np</tex>.
+===Приближение Пуассона===
+Приближение [[распределение Пуассона|распределением Пуассона]] применяется в ситуациях, когда значения <tex>n</tex> большие, а значения <tex>p</tex> близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром <tex>\lambda=np.</tex>
-Строгая формулировка: если <tex>n\to\infty</tex> и <tex>p\to 0</tex> таким образом, что <tex>np\to\lambda</tex>, то
+Строгая формулировка: если <tex>n\to\infty</tex> и <tex>p\to 0</tex> таким образом, что <tex>np\to\lambda,</tex> то
-<tex>P(X=k)\to\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,2,\ldots.</tex>
+::<tex>P(X=k)\to\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0, 1, 2, \ldots</tex>
-Более того, справедлива следующая оценка. Пусть <tex>Y</tex> - случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром <tex>\lambda=np</tex>.
+Более того, справедлива следующая оценка. Пусть <tex>Y</tex> &mdash; случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром <tex>\lambda=np.</tex>
 Тогда для произвольного множества <tex>B\subset\{0,1,2,\ldots\}</tex> справедливо неравенство:
-<tex>|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le np^2.</tex>
+::<tex>|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le 2np^2.</tex>
+Доказательство и обзор более точных результатов, касающихся точности данного приближения, можно найти в [1, гл. III, §12].
+===Нормальное приближение===
+Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда <tex>n\to\infty,</tex> а <tex>p</tex> фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении <tex>X</tex> в виде суммы <tex>n</tex> слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины
+::<tex>X'=\frac{X-MX}{\sqrt{DX}}=\frac{X-np}{\sqrt{npq},</tex> где <tex>q=1-p,</tex>
+близко к стандартному нормальному.
+===Локальная теорема Муавра-Лапласа===
+Данная теорема используется для приближенного вычисления вероятностей отдельных значений биномиального распределения. Она утверждает [1, гл. I, §6], что равномерно по всем значениям <tex>k,</tex> таким что <tex>|k-np|=o(npq)^{2/3},</tex> имеет место
+::<tex>P(X=k)\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}=\frac{1}{\sqrt{npq}}\varphi\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right),</tex>
+где <tex>\varphi</tex> &mdash; плотность стандартного нормального распределения.
+===Интегральная теорема Муавра-Лапласа===
+На практике необходимость оценки вероятностей отдельных значений, которую дает локальная теорема Муавра-Лапласа, возникает нечасто. Гораздо более важно оценивать вероятности событий, включающих в себя множество значений. Для этого используется интегральная теорема, которую можно сформулировать в следующем виде [1, гл. I, §6]:
+::<tex>\sup_{-\infty\le a<b\le\infty}\left|P\left(a<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le b\right) - P(a<Z\le b)\right|\to 0</tex> при <tex>n\to\infty,</tex>
+где случайная величина <tex>Y</tex> имеет стандартное нормальное распределение <tex>\mathcal{N}(0,1),</tex> и аппроксимирующая вероятность определяется по формуле
+::<tex>P(a<Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a),</tex>
+где <tex>\Phi(t)</tex> &mdash; функция распределения стандартного нормального закона: <tex>\Phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^t e^{-t^2/2}\,dt.</tex>
+Есть ряд результатов, позволяющих оценить скорость сходимости. В [1, гл. I, §6] приводится следующий результат, являющийся частным случаем теоремы Берри-Эссеена:
+::<tex>\sup_{-\infty\le x\le\infty}|F_n(x)-\Phi(x)|\le\frac{p^2+q^2}{\sqrt{npq}},</tex>
+где <tex>F_n(x)</tex> &mdash; функция распределения случайной величины <tex>X'=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}.</tex> На практике решение о том, насколько следует доверять нормальному приближению, принимают исходя из величины <tex>npq.</tex> Чем она больше, тем меньше будет погрешность приближения.
+Заметим, что асимптотический результат не изменится, если заменить строгие неравенства на нестрогие и наоборот. Предельная вероятность от такой замены также не поменяется, так как нормальное распределение абсолютно непрерывно и вероятность принять любое конкретное значение для него равна нулю. Однако исходная вероятность от такой замены может измениться, что вносит в формулу некоторую неоднозначность. Для больших значений <tex>n</tex> изменение будет невелико, однако для небольших <tex>n</tex> это может внести дополнительную погрешность.
+Для устранения этой неоднозначности, а также повышения точности приближения рекомендуется задавать интересующие события в виде интервалов с полуцелыми границами. При этом приближение получается точнее. Это связано с тем интуитивно понятным соображением, что аппроксимация кусочно-постоянной функции (функции распределения биномиального закона) с помощью непрерывной функции дает более точные приближения между точками разрыва, чем в этих точках.
+===Пример===
+Пусть <tex>n=20,</tex> <tex>p=0.5.</tex> Оценим вероятность того, что число успехов будет отличаться от наиболее вероятного значения <tex>10</tex> не более чем на <tex>3</tex>. Заметим, что значение <tex>npq=5</tex> очень мало, поэтому применение нормального приближения здесь довольно ненадежно.
+Точная вероятность рассматриваемого события равна
+::<tex>P(7\le X\le 13)\approx 0.8846.</tex>
+Применим нормальное приближение с той расстановкой неравенств, которая дана выше (снизу строгое, сверху нестрогое):
+::<tex>P(7\le X\le 13)=P(6<X\le 13)=P\left(\frac{6-10}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{13-10}{\sqrt{5}}\right)=P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3}{\sqrt{5}}\right)=\Phi\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right) - \Phi\left(-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\approx 0.8733.</tex>
+Ошибка приближения равна <tex>0.0113</tex>.
+Теперь построим приближение, используя интервал с концами в полуцелых точках:
+::<tex>P(7\le X\le 13)=P(6.5<X< 13.5)=P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\le\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)\approx P\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}<Z\le\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)=\Phi\left(\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right) - \Phi\left(-\frac{3.5}{\sqrt{5}}\right)\approx 0.8824.</tex>
+Ошибка приближения равна <tex>0.0022</tex> &mdash; примерно в 5 раз меньше, чем в предыдущем подходе.
+==Литература==
+. {{книга
+|автор        = Ширяев А.Н.
+|заглавие     = Вероятность
+|год          = 2004
+|место        = М.
+|издательство = МЦНМО
+}}
 == Ссылки ==
@@ Строка 35: / Строка 121: @@
 *[http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution Binomial distribution] (Wikipedia)
+[[Категория:Вероятностные распределения]]
-[[Категория:Материалы по теории вероятностей]]