Модель панельных данных со случайными эффектами

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (→Оценка параметров модели)
 
Строка 31: Строка 31:
=== Оценка параметров модели ===
=== Оценка параметров модели ===
-
Модель со случайным эффектом {{eqref|1}} можно рассматривать как линейную модель, в которой ошибка <tex>w_{it} = u_i + \varepsilon_{it})</tex> имеет некоторую специальную структуру. Будем рассматривать модель:
+
Модель со случайным эффектом {{eqref|1}} можно рассматривать как линейную модель, в которой ошибка <tex>w_{it} = u_i + \varepsilon_{it}</tex> имеет некоторую специальную структуру. Будем рассматривать модель:
{{eqno|2}}
{{eqno|2}}
::<tex>y_{it} = \mu + x'_{it} \cdot \beta + w_{it}</tex>.
::<tex>y_{it} = \mu + x'_{it} \cdot \beta + w_{it}</tex>.

Текущая версия

Модель панельных данных со случайными эффектами (random effect model) опирается на структуру панельных данных, что позволяет учитывать неизмеримые индивидуальные различия объектов. Эти отличия называются эффектами. В данной модели предполагается, что индивидуальные отличия носят случайный характер.

Содержание

Обозначения

Введем обозначения:

  • i = 1,...,n – номера объектов, t = 1,...,T – моменты времени, k – число признаков.
  • x_{it} – набор независимых переменных (вектор размерности k )
  • y_{it} – зависимая переменная для экономической единицы i в момент времени t
  • \varepsilon_{it} – соответствующая ошибка.
  • Обозначим также:
\begin{equation*} y_i= \left[y_{i1} \\ ...\\ y_{iT} \right] \text{,} \quad X_i= \left[ x'_{i1} \\ ...\\ x'_{iT} \right] \text{,} \quad \varepsilon_i= \left[ \varepsilon_{i1} \\ ...\\ \varepsilon_{iT} \right]. \end{equation*}
  • Введем также «объединенные» наблюдения и ошибки:
\begin{equation*} y= \left[ y_1 \\ ...\\ y_n \right] \text{,} \quad X= \left[ X_1 \\ ...\\ X_n \right] \text{,} \quad \varepsilon= \left[ \varepsilon_1 \\ ...\\ \varepsilon_n \right]. \end{equation*}

Здесь y,\; \varepsilon – nT \times 1 векторы, X – nT \times k матрица.

Описание модели панельных данных со случайными эффектами

Во введенных обозначениях (см. также Объединённая модель панельных данных) модель панельных данных со случайными эффектами описывается уравнением

(1)
y_{it} = \mu + x'_{it} \cdot \beta + u_i + \varepsilon_{it},

где \mu – константа, а u_i – случайная ошибка, инвариантная по времени для каждого объекта.

Параметры модели: \beta \in \mathbb{R}^k,\; \mu \in \mathbb{R}.

Основные предположения

Предположим, что выполнены следующие условия:

  1. ошибки \varepsilon_{it} некоррелированы между собой по i и t , \mathbb{E}(\varepsilon_{it}) = 0, \mathbb{V}(\varepsilon_{it}) = \sigma_{\varepsilon }^2;
  2. ошибки \varepsilon_{it} некоррелированы с регрессорами x_{js} при всех i, j, t, s;
  3. ошибки u_i некоррелированы между собой по i, \mathbb{E}(u_i) = 0, \mathbb{V}(u_i) = \sigma_u^2;
  4. ошибки u_i некоррелированы с регрессорами x_{jt} при всех i, j, t: \mathbb{E}(u_i x_{jt}) = 0;
  5. ошибки u_i и \varepsilon_{it} некоррелированы при всех i, j, t: \mathbb{E}(u_i \varepsilon_{jt}) = 0.

Оценка параметров модели

Модель со случайным эффектом (1) можно рассматривать как линейную модель, в которой ошибка w_{it} = u_i + \varepsilon_{it} имеет некоторую специальную структуру. Будем рассматривать модель:

(2)
y_{it} = \mu + x'_{it} \cdot \beta + w_{it}.

Для получения оценок параметров \mu,\; \beta можно применить обычный метод наименьших квадратов. Условия 1)-3) гарантируют несмещённость и состоятельность этих оценок. Однако ошибки в (2) не являются гомоскедастичными, поэтому для построения эффективных оценок можно воспользоваться обобщенным методом наименьших квадратов.

Литература

  1. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
  2. Коленков С.О. Прикладной эконометрический анализ в статистическом пакете Stata. — 2003.

См. также

Ссылки


Статья в настоящий момент дорабатывается.
Юлия Власова 23:32, 8 января 2009 (MSK)


Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%BE_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8_%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B8»