Критерий омега-квадрат

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Описание критерия)
Текущая версия (15:35, 24 октября 2013) (править) (отменить)
(→Ссылки)
 
(12 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
'''Критерий омега-квадрат''', также называемый критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса,
'''Критерий омега-квадрат''', также называемый критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса,
используется для проверки гипотезы "случайная величина <tex>X</tex> имеет распределение <tex>F(x)</tex>".
используется для проверки гипотезы "случайная величина <tex>X</tex> имеет распределение <tex>F(x)</tex>".
 +
 +
 +
==Описание критерия==
==Описание критерия==
-
Пусть <tex>x_1,\dots,x_n</tex> - элементы выборки.
+
Пусть <tex>x_1,\dots,x_n</tex> - элементы выборки, упорядоченные по возрастанию.
Статистика критерия имеет вид
Статистика критерия имеет вид
-
::<tex>n\omega^2=\frac{1}{12n}+\sum_{i=1}^{n}\{F(x_i-\frac{2i-1}{2n})\}^2</tex>,
+
::<tex>n\omega^2=\frac{1}{12n}+\sum_{i=1}^{n}\{F(x_i)-\frac{2i-1}{2n}\}^2</tex>,
-
где <tex>F(x)</tex> - теоретическая функция распределения.
+
где <tex>F(x)</tex> - теоретическая функция распределения с известными параметрами. То есть, проверяется простая гипотеза.
-
Важно, что она должна быть известна с точностью до параметров.
+
 
-
Оценивание параметров по выборке приведёт к уменьшению величины критического значения статистики,
+
-
т. е. к увеличению количества ошибок второго рода.
+
При объёме выборки <tex>n>40</tex> можно пользоваться квантилями распределения <tex>n\omega^2</tex>,
При объёме выборки <tex>n>40</tex> можно пользоваться квантилями распределения <tex>n\omega^2</tex>,
Строка 29: Строка 30:
При <tex>n<40</tex> таблицей можно пользоваться с заменой <tex>n\omega^2</tex> на
При <tex>n<40</tex> таблицей можно пользоваться с заменой <tex>n\omega^2</tex> на
::<tex>(n\omega^2)'=(\frac{n\omega^2}{4}-\frac{0,4}{n}+\frac{0,6}{n^2})(1+\frac{1}{n}).</tex>
::<tex>(n\omega^2)'=(\frac{n\omega^2}{4}-\frac{0,4}{n}+\frac{0,6}{n^2})(1+\frac{1}{n}).</tex>
 +
 +
==Использование критерия для проверки нормальности==
 +
В данном случае критерий омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова) используется для проверки ''сложной гипотезы'' о принадлежности случайной величины <tex>X</tex> нормальному закону, параметры которого оцениваются по этой же выборке методом максимального правдоподобия (используются выборочные оценки среднего и дисперсии).
 +
 +
Надо отметить, что распределения статистики критерия различаются для случаев оценивания одного, другого или обоих параметров.
 +
 +
В случае использования выборочных оценок среднего и дисперсии можно воспользоваться критическими значениями, представленными в таблице (Мартынов Г.В.):
 +
::{|class="standard"
 +
|<tex>\alpha</tex>
 +
|0,900
 +
|0,950
 +
|0,990
 +
|0,995
 +
|0,999
 +
|-
 +
|<tex>n\omega^2(\alpha)</tex>
 +
|0,1035
 +
|0,1260
 +
|0,1788
 +
|0,2018
 +
|0,2559
 +
|}
 +
 +
== Проверка сложных гипотез ==
 +
При проверке ''сложных гипотез'', когда по выборке оцениваются параметры закона, с которым проверяется согласие, непараметрические критерии согласия теряют свойство свободы от распределения (Kac, Kiefer, Wolfowitz).
 +
При проверке сложных гипотез условные распределения статистик непараметрических критериев согласия (и критерия Крамера-Мизеса-Смирнова) зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона, соответствующего справедливой проверяемой гипотезе; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров.
 +
 +
Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни коем случае нельзя.
 +
 +
О применении критерия Колмогорова для проверки различных сложных гипотез см. на сайте Новосибирского государственного технического университета:
 +
 +
* [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Statistical_Data_Analysis.pdf Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход : монография. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. – 888 с. (главы 3 и 4)]
 +
* [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Models_Part_I.pdf Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч.I // Измерительная техника. 2009. № 6. – С.3-11.]
 +
* [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Models_Part_II.pdf Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч.II // Измерительная техника. 2009. № 8. – С.17-26.]
==Литература==
==Литература==
-
#''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
+
#''Большев Л.Н., Смирнов Н.В.'' Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.
#''Смирнов Н. В.'' О распределении <tex>n\omega^2</tex>-критерия Мизеса // Математический сб. 1937.2(44), №5. С. 973-993.
#''Смирнов Н. В.'' О распределении <tex>n\omega^2</tex>-критерия Мизеса // Математический сб. 1937.2(44), №5. С. 973-993.
#''Смирнов Н. В.'' О критерии Крамера—фон Мизеса // Успехи матем. наук (новая серия). 1949. Т. 4, №4C2). С. 196-197.
#''Смирнов Н. В.'' О критерии Крамера—фон Мизеса // Успехи матем. наук (новая серия). 1949. Т. 4, №4C2). С. 196-197.
-
#''Мартынов Г. В.'' Критерии омега-квадрат. — М.: Наука, 1978.
+
#''Мартынов Г. В.'' Критерии омега-квадрат. — М.: Наука, 1978.
 +
#''Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J.'' On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat., 1955. V.26. – P.189-211.
 +
# [Р 50.1.037–2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. – М.: Изд-во стандартов. 2002. – 64 с.[http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/nonparametric/start2.htm]]
 +
 
==Ссылки==
==Ссылки==
-
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r-von-Mises_criterion Cramér-von-Mises criterion](Wikipedia)
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Критерий_Крамера_-_Мизеса_-_Смирнова Критерий Крамера-Мизеса-Смирнова в ''Википедии'']
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r-von-Mises_criterion Cramér-von-Mises criterion](Wikipedia)
 +
 
==См. также==
==См. также==
*[[Критерий Шапиро-Уилка]]
*[[Критерий Шапиро-Уилка]]
*[[Критерий Колмогорова-Смирнова]]
*[[Критерий Колмогорова-Смирнова]]
*[[Критерий хи-квадрат]]
*[[Критерий хи-квадрат]]
 +
 +
[[Категория:Прикладная статистика]]
 +
[[Категория:Параметрические статистические тесты]]

Текущая версия

Критерий омега-квадрат, также называемый критерием Смирнова-Крамера-фон Мизеса, используется для проверки гипотезы "случайная величина X имеет распределение F(x)".


Содержание

Описание критерия

Пусть x_1,\dots,x_n - элементы выборки, упорядоченные по возрастанию. Статистика критерия имеет вид

n\omega^2=\frac{1}{12n}+\sum_{i=1}^{n}\{F(x_i)-\frac{2i-1}{2n}\}^2,

где F(x) - теоретическая функция распределения с известными параметрами. То есть, проверяется простая гипотеза.


При объёме выборки n>40 можно пользоваться квантилями распределения n\omega^2, приведенными в следующей таблице:

\alpha 0,900 0,950 0,990 0,995 0,999
n\omega^2(\alpha) 0,3473 0,4614 0,7435 0,8694 1,1679

При n<40 таблицей можно пользоваться с заменой n\omega^2 на

(n\omega^2)'=(\frac{n\omega^2}{4}-\frac{0,4}{n}+\frac{0,6}{n^2})(1+\frac{1}{n}).

Использование критерия для проверки нормальности

В данном случае критерий омега-квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова) используется для проверки сложной гипотезы о принадлежности случайной величины X нормальному закону, параметры которого оцениваются по этой же выборке методом максимального правдоподобия (используются выборочные оценки среднего и дисперсии).

Надо отметить, что распределения статистики критерия различаются для случаев оценивания одного, другого или обоих параметров.

В случае использования выборочных оценок среднего и дисперсии можно воспользоваться критическими значениями, представленными в таблице (Мартынов Г.В.):

\alpha 0,900 0,950 0,990 0,995 0,999
n\omega^2(\alpha) 0,1035 0,1260 0,1788 0,2018 0,2559

Проверка сложных гипотез

При проверке сложных гипотез, когда по выборке оцениваются параметры закона, с которым проверяется согласие, непараметрические критерии согласия теряют свойство свободы от распределения (Kac, Kiefer, Wolfowitz). При проверке сложных гипотез условные распределения статистик непараметрических критериев согласия (и критерия Крамера-Мизеса-Смирнова) зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона, соответствующего справедливой проверяемой гипотезе; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров.

Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни коем случае нельзя.

О применении критерия Колмогорова для проверки различных сложных гипотез см. на сайте Новосибирского государственного технического университета:

Литература

  1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.
  2. Смирнов Н. В. О распределении n\omega^2-критерия Мизеса // Математический сб. 1937.2(44), №5. С. 973-993.
  3. Смирнов Н. В. О критерии Крамера—фон Мизеса // Успехи матем. наук (новая серия). 1949. Т. 4, №4C2). С. 196-197.
  4. Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат. — М.: Наука, 1978.
  5. Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat., 1955. V.26. – P.189-211.
  6. [Р 50.1.037–2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. – М.: Изд-во стандартов. 2002. – 64 с.[1]]

Ссылки

См. также

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%B3%D0%B0-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82»
Личные инструменты