Построение интегральных индикаторов по ранговым признакам (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Аннотация

В данной работе описывается подход к построению интегрального индикатора для множества объектов, характеризуемых признаками, выраженными в ранговых шкалах. В качестве интегрального индикатора предлагается рассматривать бинарное отношение на множестве объектов, позволяющее сравнивать объекты между собой. Бинарное отношение строится на основании признакового описания объектов и информации о важности каждого признака, задаваемой экспертами. Подход продемонстрирован на работе алгоритма уточнения экспертной информации.

Ключевые слова: интегральный индикатор, экспертное оценивание, ранговые шкалы, бинарные отношения.

Постановка задачи

Пусть $X$ - пространство объектов, ${\{x_i\}}_{i=1}^{m}\subset X$ - выборка объектов. Каждый объект $x\in X$ характеризуется набором ранговых признаков ${\{f_j\}}_{j=1}^{n}$ .

Пусть признаковое описание объектов задается в виде матрицы $A$ размера $m \times n$ , где $a^{ik}$ - место i-го объекта в списке, отсортированном по убыванию k-го признака.

Два объекта $x_i$ и $x_j$ при векторе весов признаков $\mathbf w$ сравниваются следующим образом.

$x_i$ не хуже $x_j$ , если $({\mathbf u}^{ij})^{T}{\mathbf w} \geq 0,$ где ${u}^{ij}_k = 1$ , если i-й объект не хуже j-го по k-му признаку, и ${u}^{ij}_k = -1$ в противном случае.

Вектор $\mathbf w$ нормирован $\sum_{k=1}^{n} w_k=1$ .

Введенное бинарное отношение - интегральный индикатор, соответствующий вектору весов признаков $\mathbf w$ .

Вектору $\mathbf w$ соответствует матрица попарных сравнений $Q(A,{\mathbf w})$ размера $m \times m$ , где $q^{ij}=1$ , когда i-й объект не хуже j-го при указанном сравнении и $q^{ij}=-1$ в противном случае.

$q^{ii}=1$ - всегда.

Пусть правильный порядок объектов задается с помощью матрицы $Q_0$ попарных сравнений по желаемому интегральному индикатору.

Пусть функционал потерь

$L(Q^0,A,{\mathbf w}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \frac{|q^{0}_{ij} - q_{ij}(A,{\mathbf w})|}2$

Такой функционал потерь равен числу нарушений порядка в списке, отсортированном по текущему интегральному индикатору, по сравнению с правильным порядком.

Тогда задача формулируется следующим образом.

Дано: ${\{x_i\}}_{i=1}^{m},A,Q^0$ начальное приближение $\mathbf w^0$ .

Найти: такой вектор $\mathbf w^{\mbox {opt}}~\in~\mathcal{W}~=~\{{\mathbf w}~\in~\mathbb{R}^{n}|\sum_{k=1}^n w_{k}~=~1\}$ , что

${\mathbf w}^{\mbox {opt}} = \arg \min_{{\mathbf w}\in \mathcal{W}} L$ .

Полный текст работы

Данная статья была создана в рамках учебного задания.

Студент: Александр Фирстенко

Преподаватель: В.В.Стрижов

Срок: 24 декабря 2010

В настоящее время задание завершено и проверено. Данная страница может свободно правиться другими участниками проекта MachineLearning.ru.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2_%D0%BF%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%BC_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0%D0%BC_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»

Категория: Практика и вычислительные эксперименты

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Аннотация ==
-В данной работе описывается подход к построению интегрального индикатора для множества объектов, характеризуемых признаками, выраженными в ранговых шкалах. В качестве интегрального индикатора предлагается рассматривать бинарное отношение на множестве объектов, позволяющее сравнивать объекты между собой. Бинарное отношение строится на основании признакового описания объектов и информации о важности каждого признака, задаваемой экспертами. Подход продемонстрирован на на работе алгоритма уточнения экспертной информации.
+В данной работе описывается подход к построению интегрального индикатора для множества объектов, характеризуемых признаками, выраженными в ранговых шкалах. В качестве интегрального индикатора предлагается рассматривать бинарное отношение на множестве объектов, позволяющее сравнивать объекты между собой. Бинарное отношение строится на основании признакового описания объектов и информации о важности каждого признака, задаваемой экспертами. Подход продемонстрирован на работе алгоритма уточнения экспертной информации.
-''Ключевые слова'': интегральный индикатор, экспертное оценивание, ранговые шкалы, бинарные отношения.
+''Ключевые слова'': интегральный индикатор, экспертное оценивание, ранговые шкалы, бинарные отношения.
 == Постановка задачи ==
-Задано пространство объектов <tex>X</tex> - пространство объектов, <tex>{\{x_i\}}_{i=1}^{m}\subset X</tex> -выборка объектов. Каждый объект
+Пусть <tex>X</tex> - пространство объектов, <tex>{\{x_i\}}_{i=1}^{m}\subset X</tex> - выборка объектов. Каждый объект
 <tex>x\in X</tex> характеризуется набором ранговых признаков <tex>{\{f_j\}}_{j=1}^{n}</tex>.
-Задано признаковое описание объектов в виде матрицы <tex>A</tex> размера <tex>m \times n</tex>. Задано начальное приближение вектора весов признаков
+Пусть признаковое описание объектов задается в виде матрицы <tex>A</tex> размера <tex>m \times n</tex>, где <tex>a^{ik}</tex> - место i-го объекта в списке, отсортированном по убыванию k-го признака.
-<tex>\mathbf w^0</tex> и правильный порядок объектов, определяемый матрицей
-* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Integral_Indicators_Based_on_Rank_Features/doc Ссылка на текст отчёта]
+Два объекта <tex>x_i</tex> и <tex>x_j</tex> при векторе весов признаков <tex>\mathbf w</tex> сравниваются следующим образом.
-* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Integral_Indicators_Based_on_Rank_Features/code Ссылка на код]
-{{Задание|Александр Фирстенко|В.В.Стрижов|24 декабря 2010|First|Strijov}}
+<tex>x_i</tex> не хуже <tex>x_j</tex>, если <tex>({\mathbf u}^{ij})^{T}{\mathbf w} \geq 0,</tex> где
+<tex>{u}^{ij}_k = 1</tex>, если i-й объект не хуже j-го по k-му признаку, и <tex>{u}^{ij}_k = -1</tex> в противном случае.
+Вектор <tex>\mathbf w</tex> нормирован <tex>\sum_{k=1}^{n} w_k=1</tex>.
+Введенное бинарное отношение - интегральный индикатор, соответствующий вектору весов признаков <tex>\mathbf w</tex>.
+Вектору <tex>\mathbf w</tex> соответствует матрица попарных сравнений  <tex>Q(A,{\mathbf w})</tex> размера <tex>m \times m</tex>, где <tex>q^{ij}=1</tex>, когда i-й объект не хуже j-го при указанном сравнении и <tex>q^{ij}=-1</tex> в противном случае.
+<tex>q^{ii}=1</tex> - всегда.
+Пусть правильный порядок объектов задается с помощью матрицы <tex>Q_0</tex> попарных сравнений по желаемому интегральному индикатору.
+Пусть функционал потерь
+<tex>L(Q^0,A,{\mathbf w}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \frac{|q^{0}_{ij} - q_{ij}(A,{\mathbf w})|}2</tex>
+Такой функционал потерь равен числу нарушений порядка в списке, отсортированном по текущему интегральному индикатору, по сравнению с правильным порядком.
+Тогда задача формулируется следующим образом.
+Дано: <tex>{\{x_i\}}_{i=1}^{m},A,Q^0</tex> начальное приближение <tex>\mathbf w^0</tex>.
+Найти: такой вектор <tex>\mathbf w^{\mbox {opt}}~\in~\mathcal{W}~=~\{{\mathbf w}~\in~\mathbb{R}^{n}|\sum_{k=1}^n w_{k}~=~1\}</tex>, что
+<tex>{\mathbf w}^{\mbox {opt}} = \arg \min_{{\mathbf w}\in \mathcal{W}} L </tex>.
+== Полный текст работы ==
+* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Group774/Firstenko2010RankIndicators/doc Ссылка на текст отчёта]
+* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Group774/Firstenko2010RankIndicators/code Ссылка на код]
+* [https://mlalgorithms.svn.sourceforge.net/svnroot/mlalgorithms/Group774/Firstenko2010RankIndicators/review.docx Рецензия]
+{{ЗаданиеВыполнено|Александр Фирстенко|В.В.Стрижов|24 декабря 2010|First|Strijov}}
 [[Категория:Практика и вычислительные эксперименты]]

Построение интегральных индикаторов по ранговым признакам (пример)

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Аннотация

Постановка задачи

Полный текст работы

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты