Графические модели (курс лекций)/2013/Задание 6

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Текущая версия

Основная статья: Графические модели (курс лекций)

Начало выполнения задания: 29 апреля 2013 г.
Срок сдачи: 26 мая 2013 г. (воскресенье), 23:59.

Программная среда для выполнения задания — MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.

Модель Изинга

Прямоугольная система соседства

Треугольная система соседства

Модель Изинга — математическая модель статистической физики, предназначенная для описания магнитных свойств вещества. Каждой вершине кристаллической решётки (рассматривается двухмерный случай) сопоставляется число, называемое спином и равное +1 или −1 («поле вверх»/«поле вниз»). Каждому из $2^N$ возможных вариантов расположения спинов (где $N$ — число атомов решётки) приписывается энергия, состоящая из взаимодействия спинов соседних атомов J и действия внешнего магнитного поля H:

$E(X) = -\left( J \sum_{(i,j) \in\mathcal{E}} x_i x_j + \sum_{i=1}^N H_i x_i \right),$

где $x_i$ — переменные, соответствующие спинам, $\mathcal{E}$ — система соседства (в данном задании рассматриваются две системы соседства: прямоугольная и треугольная), каждое ребро в $\mathcal{E}$ считается один раз. Вероятность нахождения в каждом конкретном состоянии $X$ задается распределением Гиббса:

$P(X) = \frac{1}{Z} \exp{\left( -\beta E(X) \right)}, \qquad \beta = \frac{1}{kT},$

где $Z$ — нормировочная константа, $T$ — температура, $k$ — параметр.

Если $J = 1$ , то вещество называется ферромагнетиком. Если $J = -1$ , то вещество называется антиферромагнетиком.

Формулировка задания

Пример иллюстрации состояния модели Изинга размера 20 на 20.

Провести исследование модели Изинга с помощью схемы Гиббса:
- Вывести формулы для одномерных условных распределений вида $p(x_i | X_{\backslash{i}})$ ;
- Реализовать с помощью схемы Гиббса процедуру оценки математического ожидания энергии $\frac{1}{N}\mathbb{E}E$ , стандартного отклонения энергии $\frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E}$ , математического ожидания квадрата общей намагниченности модели $\sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)}$ , где $\mu = \left(\sum_{i=1}^N x_i \right) / N$ для заданных параметров $\beta$ и внешнего магнитного поля H. Требования по эффективности реализации: 1000 итераций метода Гиббса для прямоугольной решетки размера 20 на 20 и ста значений параметра $\beta$ должны выполняться не более 20 секунд. В отчете привести соответствующие замеры времени работы кода;
- Построить графики зависимости $\frac{1}{N}\mathbb{E}E,\ \frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E},\ \sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)}$ от температуры для треугольной и четырехугольной систем соседства, ферромагнетика и антиферромагнетика (всего 4 модели). Проинтерпретировать полученные результаты (в частности идентифицировать, локализовать и изучить фазовый переход). Для построения графиков использовать следующие значения параметров: размер решетки 20 на 20 (N = 400), $k = 1$ , 10000 итераций метода Гиббса для оценки статистик, внешнее магнитное поле $H_i = 0$ , температуры $T$ = 0.5 : 0.1 : 10;
- Для ферромагнетика с четырехугольной системой соседства отобразить характерные отдельные конфигурации $X$ (см. рис.) в зависимости от температуры (низкая температура, окрестность фазового перехода, высокая температура). Проинтерпретировать результаты;
- Исследовать влияние константного внешнего магнитного поля на фазовый переход в ферромагнетике с прямоугольной системой соседства. Рассмотреть также внешнее магнитное поле со следующей структурой: на половине решетки H = 1, на другой половине H = -1;
Провести исследование модели Изинга с помощью вариационного подхода, где в качестве факторизованного семейства для выступает независимое распределение по всем компонентам :
- Вывести формулу для пересчета отдельного фактора $q_i(x_i)$ , формулу для функционала $\mathcal{L}(q)$ , формулы для оценки $\frac{1}{N}\mathbb{E}E,\ \frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E},\ \sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)}$ , где мат.ожидания вычисляются по распределению $q(X)$ ;
- Реализовать с помощью вариационного подхода процедуру оценки величин $\frac{1}{N}\mathbb{E}E,\ \frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E},\ \sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)}$ , а также нижней оценки $\mathcal{L}(q)$ для логарифма нормировочной константы $\log Z$ для заданных параметров $\beta$ и внешнего магнитного поля H. Требования по эффективности реализации: для решетки размера 20 x 20 сто итераций поиска вариационного приближения для ста значений параметра $\beta$ должны выполняться не более одной секунды, включая этап оценки всех статистик. В отчете привести соответствующие замеры времени работы кода;
- Построить графики зависимости $\frac{1}{N}\mathbb{E}E,\ \frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E},\ \sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)},\ \mathcal{L}(q)$ от температуры для треугольной и четырехугольной систем соседства, ферромагнетика и антиферромагнетика (всего 4 модели). Проинтерпретировать полученные результаты (в частности идентифицировать, локализовать и изучить фазовый переход). Для построения графиков использовать следующие значения параметров: размер решетки 20 на 20 (N = 400), $k = 1$ , внешнее магнитное поле $H_i = 0$ , температуры $T$ = 0.5 : 0.1 : 10;
- Для ферромагнетика с четырехугольной системой соседства отобразить найденное распределение $q(X)$ (в шкале серого) в зависимости от температуры (низкая температура, окрестность фазового перехода, высокая температура). Проинтерпретировать результаты;
- Исследовать влияние константного внешнего магнитного поля на фазовый переход в ферромагнетике с прямоугольной системой соседства. Рассмотреть также внешнее магнитное поле со следующей структурой: на половине решетки H = 1, на другой половине H = -1;
Сравнить результаты схемы Гиббса с результатами вариационного подхода. Рассмотреть ферромагнетик с прямоугольной системой соседства. Привести графики математического ожидания и дисперсии энергии, корня из математического ожидания квадрата намагниченности в одних осях для двух подходов.
Написать отчет в формате PDF с описанием всех проведенных исследований.

Оформление задания

Выполненное задание следует отправить письмом по адресу bayesml@gmail.com с заголовком письма «[ГМ13] Задание 6, Фамилия». Убедительная просьба присылать выполненное задание только один раз с окончательным вариантом. Новые версии будут рассматриваться только в самом крайнем случае. Также большая просьба строго следовать указанным ниже прототипам реализуемых функций.

Присланный вариант задания должен содержать в себе:

Текстовый файл в формате PDF, содержащий описание проведенных исследований;
Все исходные коды с необходимыми комментариями.

Для проверки корректности прототипов реализованных функций рекомендуется воспользоваться специальной процедурой. Задания, для которых данная процедура будет выходить с ошибкой, проверяться не будут!

Метод Гиббса для оценки статистик распределений

[E, D, M, S] = gibbsIsing4(H, J, betaAll, num_iter) — прямоугольная система соседства

[E, D, M, S] = gibbsIsing6(H, J, betaAll, num_iter) — треугольная система соседства

ВХОД

H — внешнее магнитное поле, матрица размера vS x hS;

J — параметр модели, равен 1 или -1;

betaAll — вектор значений параметра $\beta$ (вектор-строка длины $\beta_0$ );

num_iter — количество итераций схемы Гиббса;

ВЫХОД

E — значения мат.ожиданий энергии на один спин $\frac{1}{N}\mathbb{E}E$ для каждой температуры, вектор-строка длины $\beta_0$ ;

D — значения стандартных отклонений энергии на один спин $\frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E}$ для каждой температуры, вектор-строка длины $\beta_0$ ;

M — значения средней магнетизации на один спин $\sqrt{\mathbb{E}\mu^2}$ для каждой температуры, вектор-строка длины $\beta_0$ ;

S — примеры конфигураций $X$ для всех температур, массив размера vS x hS x $\beta_0$ .

Вариационный подход

[E, D, M, L] = varIsing4(H, J, betaAll, opt_params) — прямоугольная система соседства

[E, D, M, L] = varIsing6(H, J, betaAll, opt_params) — треугольная система соседства

ВХОД

H — внешнее магнитное поле, матрица размера vS x hS;

J — параметр модели, равен 1 или -1;

betaAll — вектор значений параметра $\beta$ (вектор-строка длины $\beta_0$ );

opt_params — (необязательный параметр) параметры оптимизационного процесса, структура со следующими полями:

'max_iter' — максимальное количество итераций, по умолчанию = 300;

'tol_crit' — необходимая точность по значению нижней границы, по умолчанию = $10^{-4}$ ;

'num_start' — количество различных начальных приближений, по умолчанию = 1;

ВЫХОД

E — мат.ожидание энергии на один спин $\frac{1}{N}\mathbb{E}E$ для каждой температуры, вектор-строка длины $\beta_0$ ;

D — стандартное отклонение энергии на один спин $\frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E}$ для каждой температуры, вектор-строка длины $\beta_0$ ;

M — средняя магнетизация $\sqrt{\mathbb{E}\mu^2}$ для каждой температуры, вектор-строка длины $\beta_0$ ;

L — нижние границы для логарифмов нормировочных констант для каждой температуры, вектор-строка длины $\beta_0$ .

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%29/2013/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_6»

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 __NOTOC__
-{{stop|Текст задания находится в стадии формирования. Просьба не приступать к выполнению задания до тех пор, пока это предупреждение не будет удалено.}}
 {{Main|Графические модели (курс лекций)}}
@@ Строка 20: / Строка 18: @@
 :<tex>E(X) = -\left( J \sum_{(i,j) \in\mathcal{E}} x_i x_j + \sum_{i=1}^N H_i x_i \right),</tex>
-где <tex>x_i</tex> — переменные, соответствующие спинам, <tex>\mathcal{E}</tex> — система соседства (в данном задании рассматриваются две системы соседства: прямоугольная и треугольная). Пара <tex>(i,j)\in\mathcal{E}</tex> является упорядоченной. Вероятность нахождения в каждом конкретном состоянии <tex>X</tex> задается распределением Гиббса:<br>
+где <tex>x_i</tex> — переменные, соответствующие спинам, <tex>\mathcal{E}</tex> — система соседства (в данном задании рассматриваются две системы соседства: прямоугольная и треугольная), каждое ребро в <tex>\mathcal{E}</tex> считается один раз. Вероятность нахождения в каждом конкретном состоянии <tex>X</tex> задается распределением Гиббса:<br>
 :<tex>P(X) = \frac{1}{Z} \exp{\left( -\beta E(X) \right)}, \qquad \beta = \frac{1}{kT},</tex>
@@ Строка 31: / Строка 29: @@
 [[Изображение:BayesML2010_task2_example.PNG‎|200px|thumb|Пример иллюстрации состояния модели Изинга размера 20 на 20.]]
-# Провести исследование модели Изинга по схеме Гиббса:
+# Провести исследование модели Изинга с помощью схемы Гиббса:
-#* Вывести формулы для одномерных условных распределений вида <tex>p(x_i | X_{/\{i\}})</tex>;
+#* Вывести формулы для одномерных условных распределений вида <tex>p(x_i | X_{\backslash{i}})</tex>;
-#* Реализовать процедуру подсчета математического ожидания и дисперсии энергии (нормированной на количество спинов N), математического ожидания квадрата общей намагниченности модели <tex>\mu = \left(\sum_{i=1}^N x_i \right) / N</tex> методом Гиббса (с заданным числом итераций) для заданных параметров <tex>\beta</tex> и внешнего магнитного поля H. Требования по эффективности реализации: 1000 итераций метода Гиббса для решетки размера 20 на 20 и ста значений параметра <tex>\beta</tex> должны выполняться не более 20 секунд. В отчете привести соответствующие замеры времени работы кода;
+#* Реализовать с помощью схемы Гиббса процедуру оценки математического ожидания энергии <tex>\frac{1}{N}\mathbb{E}E</tex>, стандартного отклонения энергии <tex>\frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E}</tex>, математического ожидания квадрата общей намагниченности модели <tex>\sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)}</tex>, где <tex>\mu = \left(\sum_{i=1}^N x_i \right) / N</tex> для заданных параметров <tex>\beta</tex> и внешнего магнитного поля H. Требования по эффективности реализации: 1000 итераций метода Гиббса для прямоугольной решетки размера 20 на 20 и ста значений параметра <tex>\beta</tex> должны выполняться не более 20 секунд. В отчете привести соответствующие замеры времени работы кода;
 #* Построить графики зависимости <tex>\frac{1}{N}\mathbb{E}E,\ \frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E},\ \sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)}</tex> от температуры для треугольной и четырехугольной систем соседства, ферромагнетика и антиферромагнетика (всего 4 модели). Проинтерпретировать полученные результаты (в частности идентифицировать, локализовать и изучить фазовый переход). Для построения графиков использовать следующие значения параметров: размер решетки 20 на 20 (N = 400), <tex>k = 1</tex>, 10000 итераций метода Гиббса для оценки статистик, внешнее магнитное поле <tex>H_i = 0</tex>, температуры <tex>T</tex> = 0.5 : 0.1 : 10;
 #* Для ферромагнетика с четырехугольной системой соседства отобразить характерные отдельные конфигурации <tex>X</tex> (см. рис.) в зависимости от температуры (низкая температура, окрестность фазового перехода, высокая температура). Проинтерпретировать результаты;
 #* Исследовать влияние константного внешнего магнитного поля на фазовый переход в ферромагнетике с прямоугольной системой соседства. Рассмотреть также внешнее магнитное поле со следующей структурой: на половине решетки H = 1, на другой половине H = -1;
 # Провести исследование модели Изинга с помощью вариационного подхода, где в качестве факторизованного семейства для <tex>q(X)</tex> выступает независимое распределение по всем компонентам <tex>q(X)=\prod_{i=1}^Nq_i(x_i)</tex>:
-#* Вывести все необходимые формулы для вариационного подхода;
+#* Вывести формулу для пересчета отдельного фактора <tex>q_i(x_i)</tex>, формулу для функционала <tex>\mathcal{L}(q)</tex>, формулы для оценки <tex>\frac{1}{N}\mathbb{E}E,\ \frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E},\ \sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)}</tex>, где мат.ожидания вычисляются по распределению <tex>q(X)</tex>;
-#* Реализовать процедуру подсчета математического ожидания и дисперсии энергии (нормированной на количество спинов N), математического ожидания квадрата общей намагниченности модели <tex>\mu = \left(\sum_{i=1}^N x_i \right) / N</tex>, а также нижней оценки <tex>\mathcal{L}(q)</tex> для логарифма нормировочной константы <tex>\log Z</tex> с помощью вариационного подхода для заданных параметров <tex>\beta</tex> и внешнего магнитного поля H. Требования по эффективности реализации: для решетки размера 20 x 20 сто итераций поиска вариационного приближения для ста значений параметра <tex>\beta</tex> должны выполняться не более одной секунды, включая этап оценки всех статистик. В отчете привести соответствующие замеры времени работы кода;
+#* Реализовать с помощью вариационного подхода процедуру оценки величин <tex>\frac{1}{N}\mathbb{E}E,\ \frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E},\ \sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)}</tex>, а также нижней оценки <tex>\mathcal{L}(q)</tex> для логарифма нормировочной константы <tex>\log Z</tex> для заданных параметров <tex>\beta</tex> и внешнего магнитного поля H. Требования по эффективности реализации: для решетки размера 20 x 20 сто итераций поиска вариационного приближения для ста значений параметра <tex>\beta</tex> должны выполняться не более одной секунды, включая этап оценки всех статистик. В отчете привести соответствующие замеры времени работы кода;
-#* Построить графики зависимости <tex>\frac{1}{N}\mathbb{E}E,\ \frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E},\ \sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)},\ \mathcal{L}(q)</tex> от температуры для треугольной и четырехугольной систем соседства, ферромагнетика и антиферромагнетика (всего 4 модели). Проинтерпретировать полученные результаты (в частности идентифицировать, локализовать и изучить фазовый переход). Для построения графиков использовать следующие значения параметров: размер решетки 20 на 20 (N = 400), <tex>k = 1</tex>, внешнее магнитное поле <tex>H_i = 0</tex>, температуры <tex>T</tex> = 0.5 : 0.1 : 10, количество итераций = 300, точность по значению нижней границы <tex>\mathcal{L}(q)</tex> = <tex>10^{-4}</tex>;
+#* Построить графики зависимости <tex>\frac{1}{N}\mathbb{E}E,\ \frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E},\ \sqrt{\mathbb{E}(\mu^2)},\ \mathcal{L}(q)</tex> от температуры для треугольной и четырехугольной систем соседства, ферромагнетика и антиферромагнетика (всего 4 модели). Проинтерпретировать полученные результаты (в частности идентифицировать, локализовать и изучить фазовый переход). Для построения графиков использовать следующие значения параметров: размер решетки 20 на 20 (N = 400), <tex>k = 1</tex>, внешнее магнитное поле <tex>H_i = 0</tex>, температуры <tex>T</tex> = 0.5 : 0.1 : 10;
-#* Для ферромагнетика с четырехугольной системой соседства отобразить найденное распределение <tex>q</tex> (в шкале серого) в зависимости от температуры (низкая температура, окрестность фазового перехода, высокая температура). Проинтерпретировать результаты;
+#* Для ферромагнетика с четырехугольной системой соседства отобразить найденное распределение <tex>q(X)</tex> (в шкале серого) в зависимости от температуры (низкая температура, окрестность фазового перехода, высокая температура). Проинтерпретировать результаты;
 #* Исследовать влияние константного внешнего магнитного поля на фазовый переход в ферромагнетике с прямоугольной системой соседства. Рассмотреть также внешнее магнитное поле со следующей структурой: на половине решетки H = 1, на другой половине H = -1;
 # Сравнить результаты схемы Гиббса с результатами вариационного подхода. Рассмотреть ферромагнетик с прямоугольной системой соседства. Привести графики математического ожидания и дисперсии энергии, корня из математического ожидания квадрата намагниченности в одних осях для двух подходов.
@@ Строка 68: / Строка 66: @@
 * Все исходные коды с необходимыми комментариями.
-Для проверки корректности прототипов реализованных функций рекомендуется воспользоваться специальной [[Media:GM12_6_check_prototypes.zip|процедурой]]. Задания, для которых данная процедура будет выходить с ошибкой, проверяться не будут!
+Для проверки корректности прототипов реализованных функций рекомендуется воспользоваться специальной [[Media:GM13_6_check_prototypes.zip|процедурой]]. Задания, для которых данная процедура будет выходить с ошибкой, проверяться не будут!
 {|class="standard"
  !''Метод Гиббса для оценки статистик распределений''
  |-
- |[E, D, M, S] = gibbsIsing4(H, J, betaAll, num_iter) — прямоугольная система соседства
+ |[E, D, M, S] = '''gibbsIsing4'''(H, J, betaAll, num_iter) — прямоугольная система соседства
  |-
- |[E, D, M, S] = gibbsIsing6(H, J, betaAll, num_iter) — треугольная система соседства
+ |[E, D, M, S] = '''gibbsIsing6'''(H, J, betaAll, num_iter) — треугольная система соседства
  |-
  |ВХОД
@@ Строка 82: / Строка 80: @@
  {|border="0"
   |-
-  |H — внешнее магнитное поле, матрица типа double размера vS x hS;
+  |H — внешнее магнитное поле, матрица размера vS x hS;
   |-
-  |J — параметр модели J;
+  |J — параметр модели, равен 1 или -1;
   |-
-  |betaAll — вектор значений параметра <tex>\beta</tex> (в MatLab матрица типа double размера 1 x <tex>\beta_0</tex>);
+  |betaAll — вектор значений параметра <tex>\beta</tex> (вектор-строка длины <tex>\beta_0</tex>);
   |-
   |num_iter — количество итераций схемы Гиббса;
@@ Строка 96: / Строка 94: @@
  |
  {|
-  |E — значения мат.ожиданий энергии на один спин <tex>\frac{1}{N}\mathbb{E}E</tex> для каждой температуры, массив размера 1 x <tex>\beta_0</tex>;
+  |E — значения мат.ожиданий энергии на один спин <tex>\frac{1}{N}\mathbb{E}E</tex> для каждой температуры, вектор-строка длины <tex>\beta_0</tex>;
   |-
-  |D — значения стандартных отклонений энергии на один спин <tex>\frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E}</tex> для каждой температуры, массив размера 1 x <tex>\beta_0</tex>;
+  |D — значения стандартных отклонений энергии на один спин <tex>\frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E}</tex> для каждой температуры, вектор-строка длины<tex>\beta_0</tex>;
   |-
-  |M — значения средней магнетизации на один спин <tex>\sqrt{\mathbb{E}\mu^2}</tex> для каждой температуры, массив размера 1 x <tex>\beta_0</tex>;
+  |M — значения средней магнетизации на один спин <tex>\sqrt{\mathbb{E}\mu^2}</tex> для каждой температуры, вектор-строка длины <tex>\beta_0</tex>;
   |-
   |S — примеры конфигураций <tex>X</tex> для всех температур, массив размера vS x hS x <tex>\beta_0</tex>.
@@ Строка 112: / Строка 110: @@
  !''Вариационный подход''
  |-
- |[E, D, M, L] = varIsing4(H, J, betaAll, opt_params) — прямоугольная система соседства
+ |[E, D, M, L] = '''varIsing4'''(H, J, betaAll, opt_params) — прямоугольная система соседства
  |-
- |[E, D, M, L] = varIsing6(H, J, betaAll, opt_params) — треугольная система соседства
+ |[E, D, M, L] = '''varIsing6'''(H, J, betaAll, opt_params) — треугольная система соседства
  |-
  |ВХОД
@@ Строка 123: / Строка 121: @@
   |H — внешнее магнитное поле, матрица размера vS x hS;
   |-
-  |J — параметр модели J;
+  |J — параметр модели, равен 1 или -1;
   |-
-  |betaAll — вектор значений параметра <tex>\beta</tex> (в MatLab матрица размера 1 x <tex>\beta_0</tex>);
+  |betaAll — вектор значений параметра <tex>\beta</tex> (вектор-строка длины <tex>\beta_0</tex>);
   |-
   |opt_params — (необязательный параметр) параметры оптимизационного процесса, структура со следующими полями:
@@ Строка 141: / Строка 139: @@
  |
  {|
-  |E — мат.ожидание энергии на один спин <tex>\frac{1}{N}\mathbb{E}E</tex> для каждой температуры, массив размера 1 x <tex>\beta_0</tex>;
+  |E — мат.ожидание энергии на один спин <tex>\frac{1}{N}\mathbb{E}E</tex> для каждой температуры, вектор-строка длины <tex>\beta_0</tex>;
   |-
-  |D — стандартное отклонение энергии на один спин <tex>\frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E}</tex> для каждой температуры, массив размера 1 x <tex>\beta_0</tex>;
+  |D — стандартное отклонение энергии на один спин <tex>\frac{1}{N}\sqrt{\mathbb{D}E}</tex> для каждой температуры, вектор-строка длины <tex>\beta_0</tex>;
   |-
-  |M — средняя магнетизация <tex>\sqrt{\mathbb{E}\mu^2}</tex> для каждой температуры, массив размера 1 x <tex>\beta_0</tex>;
+  |M — средняя магнетизация <tex>\sqrt{\mathbb{E}\mu^2}</tex> для каждой температуры, вектор-строка длины <tex>\beta_0</tex>;
   |-
-  |L — нижние границы для логарифмов нормировочных констант для каждой температуры, массив размера 1 x <tex>\beta_0</tex>.
+  |L — нижние границы для логарифмов нормировочных констант для каждой температуры, вектор-строка длины <tex>\beta_0</tex>.
   |-
   |}
  |}

Графические модели (курс лекций)/2013/Задание 6

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Модель Изинга

Формулировка задания

Рекомендации по выполнению задания

Оформление задания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты