Прогнозирование временных рядов методом SSA (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Модельные данные)
 
(41 промежуточная версия не показана)
Строка 1: Строка 1:
'''SSA (Singular Spectrum Analysis, "Гусеница")''' - метод анализа и прогноза временных рядов.
'''SSA (Singular Spectrum Analysis, "Гусеница")''' - метод анализа и прогноза временных рядов.
-
Базовый вариант метода состоит в преобразовании одномерного ряда в многомерный с помощью однопараметрической сдвиговой процедуры (отсюда и название "Гусеница"), исследовании полученной многомерной траектории с помощью анализа главных компонент (сингулярного разложения) и восстановлении (аппроксимации) ряда по выбранным главным компонентам.
+
Базовый вариант метода состоит в:
 +
 
 +
1) преобразовании одномерного ряда в многомерный с помощью однопараметрической сдвиговой процедуры (отсюда и название "Гусеница");
 +
 
 +
2) исследовании полученной многомерной траектории с помощью анализа главных компонент (сингулярного разложения);
 +
 
 +
3) восстановлении (аппроксимации) ряда по выбранным главным компонентам.
 +
 
Таким образом, результатом применения метода является разложение временного ряда на простые компоненты: медленные тренды, сезонные и другие периодические или колебательные составляющие, а также шумовые компоненты.
Таким образом, результатом применения метода является разложение временного ряда на простые компоненты: медленные тренды, сезонные и другие периодические или колебательные составляющие, а также шумовые компоненты.
Полученное разложение может служить основой прогнозирования как самого ряда, так и его отдельных составляющих. "Гусеница" допускает естественное обобщение на многомерные временные ряды, а также на случай анализа изображений.
Полученное разложение может служить основой прогнозирования как самого ряда, так и его отдельных составляющих. "Гусеница" допускает естественное обобщение на многомерные временные ряды, а также на случай анализа изображений.
-
В данной статье рассмотрим вариант алгоритма, предназначенный для анализа многомерного временного ряда.
+
В данной статье рассмотрим вариант алгоритма, предназначенный для анализа многомерного временного ряда.
-
 
+
Алгоритм содержит два входных параметра [[Многомерная гусеница, выбор длины и числа компонент гусеницы (пример)|длину гусеницы и число ее компонент]], выбор которых существенно влияет на результат работы алгоритма.
== Постановка задачи ==
== Постановка задачи ==
-
Наблюдается система функций дискретного аргумента {<tex>$(f_i^{(k)})_{i=1}^N$</tex>, где k = 1, ..., s}. Параметр s, таким образом, имеет смысл размерности многомерной числовой последовательности, а N - количество элементов в последовательности. Требуется разложить ряд в сумму компонент (используя метод главных компонент, см. описание алгоритма), интерпретировать каждую компоненту, и построить продолжение ряда <tex>$(f_i^{(k)})_{i=1}^{N+M}$</tex> по выбранным компонентам.
+
Наблюдается система функций дискретного аргумента {<tex>$(f_i^{(k)})_{i=1}^N$</tex>, где k = 1, ..., s}. s - число временных рядов, k - номер ряда, N - длина временного ряда, i - номер отсчета. Требуется разложить ряд в сумму компонент (используя метод главных компонент, см. описание алгоритма), интерпретировать каждую компоненту, и построить продолжение ряда <tex>$(f_i^{(k)})_{i=1}^{N+M}$</tex> по выбранным компонентам.
-
 
+
== Описание алгоритма ==
== Описание алгоритма ==
-
Выберем n такое, что <tex>$0 < n \le N - 1$</tex> - время жизни многомерной гусеницы. Пусть <tex>$\sigma = N - n + 1$</tex> - длина гусеницы. Построим последовательность из n векторов в <tex>$R^{\tau}$</tex>, <tex>$\tau = s*\sigma$</tex>, следующего вида:
+
=== Построение матрицы наблюдений ===
 +
Рассмотрим сначала одномерный временной ряд <tex>$(f_i)_{i=1}^N.$</tex> Выберем n такое, что <tex>$0 < n \le N - 1$</tex> - время жизни многомерной гусеницы. Пусть <tex>$\sigma = N - n + 1$</tex> - длина гусеницы. Построим последовательность из n векторов в <tex>$R^{\sigma}$</tex> следующего вида:
 +
 
 +
<tex>Y^{(l)} \in R^{\sigma},</tex> <tex>Y^{(l)} = (f_{i+l-1})_{i=1}^{\sigma}</tex>
 +
 
 +
Обозначим
 +
 
 +
<tex>$$Z = (Y^{(1)}, \ldots, Y^{(n)}):$$</tex>
 +
 
 +
[[Изображение:newpic7.png|800px]]
-
<tex>$$Y^{(l)} \in R^\tau, Y^{(l)} = (X^{(l,1)}, \ldots, X^{(l,s)})^T,$$</tex>
 
-
где <tex>$X^{(l,k)} = (f_{i+l-1}^{(k)})_{i=1}^{\sigma}$</tex>. Обозначим
+
Будем называть <tex>$Z$</tex> нецентрированной матрицей наблюдений, порождённой гусеницей со временем жизни n.
-
<tex>$$Z = (Y^{(1)}, \ldots, Y^{(n)}).$$</tex>
+
В случае многомерного временного ряда матрицей наблюдения называется столбец из матриц наблюдений, соответствующих каждой из компонент.
-
Будем называть <tex>$Z$</tex> нецентрированной матрицей наблюдений, порождённой гусеницей со временем жизни n. Проводимый в дальнейшем анализ главных компонент может проводиться как по центрированной, так и по нецентрированной выборкам. Для упрощения выкладок рассмотрим простейший нецентрированный вариант.
+
Проводимый в дальнейшем анализ главных компонент может проводиться как по центрированной, так и по нецентрированной выборкам. Для упрощения выкладок рассмотрим простейший нецентрированный вариант.
-
Рассмотрим ковариационную матрицу полученной многомерной выборки
+
=== Анализ главных компонент ===
 +
Рассмотрим ковариационную матрицу полученной выборки:
<tex>$$C = \frac1n ZZ^T.$$</tex>
<tex>$$C = \frac1n ZZ^T.$$</tex>
Строка 35: Строка 50:
<tex>$$U = V^T Z, U = (U^{(1)}, \ldots, U^{(\tau)})^T.$$</tex>
<tex>$$U = V^T Z, U = (U^{(1)}, \ldots, U^{(\tau)})^T.$$</tex>
-
После проведения анализа главных компонент обычно предполагается проведение операции восстановления исходной матрицы наблюдений по некоторому поднабору главных компонент, т. е. для <tex>$V' = (v^{(i_1)}, \ldots, v^{(i_r)})$</tex> и <tex>$U' = V'^T Z$</tex> вычисляется матрица <tex>$Z' = V'U'$</tex>. Далее восстанавливаются исходные последовательности:
+
После проведения анализа главных компонент обычно предполагается проведение операции восстановления исходной матрицы наблюдений по некоторому поднабору главных компонент, т. е. для <tex>$V' = (v^{(i_1)}, \ldots, v^{(i_r)})$</tex> и <tex>$U' = V'^T Z$</tex> вычисляется матрица <tex>$Z' = V'U'$</tex>.
 +
 
 +
Далее восстанавливаются исходные последовательности. В одномерном случае i-ая компонента восстановленного ряда есть среднее значение по i-ой диагонали восстановленной матрицы наблюдений <tex>Z'</tex>:
 +
 
 +
[[Изображение:newpic6.png|425px]]
 +
 
 +
В многомерном случае усреднение проводится с учётом того, что матрица наблюдений состоит из подматриц, соответствующих каждой компоненте ряда:
<tex>$$f'_m^{(k)} = \left\{ \begin{array}{ll} \frac1m \sum_{i=1}^m x_i^{(m-i+1,k)}&1\le m\le \sigma,\\ \frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^{\sigma} x_i^{(m-i+1,k)}&\sigma \le m \le n,\\ \frac{1}{N-m+1} \sum_{i=1}^{N-m+1} x_{i+m-n}^{(n-i+1,k)}&n \le m \le N.\end{array} \right$$</tex>
<tex>$$f'_m^{(k)} = \left\{ \begin{array}{ll} \frac1m \sum_{i=1}^m x_i^{(m-i+1,k)}&1\le m\le \sigma,\\ \frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^{\sigma} x_i^{(m-i+1,k)}&\sigma \le m \le n,\\ \frac{1}{N-m+1} \sum_{i=1}^{N-m+1} x_{i+m-n}^{(n-i+1,k)}&n \le m \le N.\end{array} \right$$</tex>
-
Определим
+
=== Прогноз ===
 +
Числовой ряд <tex>(f_i)_{i=1}^{N+1}</tex> называется продолжением ряда <tex>(f_i)_{i=1}^N</tex>, если порождаемая им при гусеничной обработке выборка лежит в той же гиперплоскости, что и у исходного ряда. Пусть у нас есть некоторый набор выбранных главных компонент <tex>i_1, i_2, \ldots, i_r.</tex> Определим
<tex>$$w = \left ( \begin{array}{cccc} v_{\sigma}^{(i_1)}&v_{\sigma}^{(i_2)}&\ldots&v_{\sigma}^{(i_r)}\\ v_{2\sigma}^{(i_1)}&v_{2\sigma}^{(i_2)}&\ldots&v_{2\sigma}^{(i_r)}\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ v_{\tau}^{(i_1)}&v_{\tau}^{(i_2)}&\ldots&v_{\tau}^{(i_r)}\end{array} \right ) $$</tex>
<tex>$$w = \left ( \begin{array}{cccc} v_{\sigma}^{(i_1)}&v_{\sigma}^{(i_2)}&\ldots&v_{\sigma}^{(i_r)}\\ v_{2\sigma}^{(i_1)}&v_{2\sigma}^{(i_2)}&\ldots&v_{2\sigma}^{(i_r)}\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ v_{\tau}^{(i_1)}&v_{\tau}^{(i_2)}&\ldots&v_{\tau}^{(i_r)}\end{array} \right ) $$</tex>
Строка 51: Строка 73:
<tex>$$Q = \left (f_{N-\sigma+2}^{(1)}, \ldots, f_N^{(1)}, f_{N-\sigma+2}^{(2)}, \ldots, f_N^{(2)}, \ldots, f_{N-\sigma+2}^{(s)}, \ldots, f_N^{(s)}\right )^T$$</tex>
<tex>$$Q = \left (f_{N-\sigma+2}^{(1)}, \ldots, f_N^{(1)}, f_{N-\sigma+2}^{(2)}, \ldots, f_N^{(2)}, \ldots, f_{N-\sigma+2}^{(s)}, \ldots, f_N^{(s)}\right )^T$$</tex>
-
Будем считать, что прогнозируемые значения системы в точке <tex>$N+1$</tex> вычисляются по формуле:
+
Тогда прогнозируемые значения системы в точке <tex>$N+1$</tex> вычисляются по формуле:
<tex>$$f_{N+1} = w(V_*^T V_*)^{-1} V_*^T Q.$$</tex>
<tex>$$f_{N+1} = w(V_*^T V_*)^{-1} V_*^T Q.$$</tex>
-
 
== Численный эксперимент ==
== Численный эксперимент ==
Строка 62: Строка 83:
Рассмотрим трёхмерный временной ряд, заданный формулами:
Рассмотрим трёхмерный временной ряд, заданный формулами:
-
<tex>$$f_1(t) = 0,08t + 0,9\sin (\frac{2\pi t}{11}) + 0,8\sin (\frac{2\pi (t+0,09)}{8})$$</tex>
+
<tex>$$f_1(t) = 0,08t + 0,9\sin (\frac{2\pi t}{11}) + 0,8\sin \left(\frac{2\pi (t+0,09)}{8}\right),$$</tex>
-
<tex>$$f_2(t) = 0,0001t^2 - 0,05t + 0,6\sin (\frac{2\pi (t-0,14)}{11}) + \cos (\frac{2\pi t}{8})$$</tex>
+
<tex>$$f_2(t) = 0,0001t^2 - 0,05t + 0,6\sin (\frac{2\pi (t-0,14)}{11}) + \cos \left(\frac{2\pi t}{8}\right),$$</tex>
-
<tex>$$f_3(t) = 36\log(t+100) - 1,2\sin (\frac{2\pi (t+0,24)}{11}) + 0,5\sin (\frac{2\pi (t-0,35)}{8})$$</tex>
+
<tex>$$f_3(t) = 36\log(t+100) - 1,2\sin (\frac{2\pi (t+0,24)}{11}) + 0,5\sin \left(\frac{2\pi (t-0,35)}{8}\right),$$</tex>
-
<tex>$$t = 1, 2, \ldots, 250$$</tex>
+
где <tex>$$t = 1, 2, \ldots, 250$$</tex>
Кроме тренда (линейная, квадратичная функции и логарифм соответственно) в ряды добавлены две периодические составляющие (синусоиды с различными амплитудами и фазами). Также во временные ряды добавлен шум со среднеквадратичным отклонением 0,5:
Кроме тренда (линейная, квадратичная функции и логарифм соответственно) в ряды добавлены две периодические составляющие (синусоиды с различными амплитудами и фазами). Также во временные ряды добавлен шум со среднеквадратичным отклонением 0,5:
-
[[Изображение:model1.png|800px]]
+
[[Изображение:newpic1.png|800px]]
-
 
+
-
[[Изображение:model2.png|800px]]
+
-
 
+
-
[[Изображение:model3.png|800px]]
+
Исследуем главные компоненты данного временного ряда, используя гусеницу длины 50.
Исследуем главные компоненты данного временного ряда, используя гусеницу длины 50.
Строка 82: Строка 99:
Логарифмы первых двадцати собственных чисел ковариационной матрицы:
Логарифмы первых двадцати собственных чисел ковариационной матрицы:
-
[[Изображение:model4.png|800px]]
+
[[Изображение:newpic2.png|800px]]
Из графика видно, что содержательный смысл несут, вероятно, первые семь главных компонент, а остальные, скорее всего, шум.
Из графика видно, что содержательный смысл несут, вероятно, первые семь главных компонент, а остальные, скорее всего, шум.
-
Обычно паре близких собственных чисел соответствуют главные компоненты, отвечающие одной частоте. Если отложить на одном графике главные векторы, отвечающие 3-му и 4-му собственным числам, становится очевидно, что они кореллируют и соответствуют периодической составляющей с периодом 11:
+
Паре близких собственных чисел соответствуют главные компоненты, отвечающие одной частоте. Отложим на одном графике главные векторы, отвечающие 3-му и 4-му собственным числам. Покажем, что они кореллируют и соответствуют периодической составляющей с периодом 11:
[[Изображение:model6.png|800px]]
[[Изображение:model6.png|800px]]
Строка 94: Строка 111:
[[Изображение:model110.png|800px]]
[[Изображение:model110.png|800px]]
-
5-му и 6-му собственным числам соответствует периодическая составляющая с периодом 8:
+
Аналогично, 5-му и 6-му собственным числам соответствует периодическая составляющая с периодом 8.
-
 
+
-
[[Изображение:model5.png|800px]]
+
-
 
+
-
[[Изображение:model11.png|800px]]
+
1-я, 2-я и 7-я главная компоненты отвечают за тренд:
1-я, 2-я и 7-я главная компоненты отвечают за тренд:
-
[[Изображение:model7.png|800px]]
+
[[Изображение:newpic3.png|800px]]
-
[[Изображение:model8.png|800px]]
+
Восстановим ряд по остальным главным компонентам, предполагая их шумовыми:
-
 
+
-
[[Изображение:model9.png|800px]]
+
-
 
+
-
Убедимся, что остальные главные компоненты - это шум:
+
[[Изображение:model13.png|800px]]
[[Изображение:model13.png|800px]]
Строка 114: Строка 123:
Спрогнозируем временной ряд на 50 единиц вперёд по первым семи главным компонентам:
Спрогнозируем временной ряд на 50 единиц вперёд по первым семи главным компонентам:
-
[[Изображение:model12.png|800px]]
+
[[Изображение:newpic4.png|800px]]
-
 
+
-
[[Изображение:model14.png|800px]]
+
-
 
+
-
[[Изображение:model15.png|800px]]
+
Видим, что прогноз вполне адекватен.
Видим, что прогноз вполне адекватен.
 +
=== Нарушения периодичности ряда ===
Посмотрим, как отреагирует алгоритм на нарушение периодичности временного ряда. Во второй половине временного ряда изменим частоту, амплитуду и фазу одной из периодик:
Посмотрим, как отреагирует алгоритм на нарушение периодичности временного ряда. Во второй половине временного ряда изменим частоту, амплитуду и фазу одной из периодик:
-
<tex>$$f_1(t) = 0,08t + 0,6\sin (\frac{2\pi t}{14}) + 0,8\sin (\frac{2\pi (t+0,09)}{8})$$</tex>
+
<tex>$$f_1(t) = 0,08t + 0,6\sin (\frac{2\pi t}{14}) + 0,8\sin \left(\frac{2\pi (t+0,09)}{8}\right),$$</tex>
-
<tex>$$f_2(t) = 0,0001t^2 - 0,05t + 0,45\sin (\frac{2\pi (t-0,14)}{14}) + \cos (\frac{2\pi t}{8})$$</tex>
+
<tex>$$f_2(t) = 0,0001t^2 - 0,05t + 0,45\sin (\frac{2\pi (t-0,14)}{14}) + \cos \left(\frac{2\pi t}{8}\right),$$</tex>
-
<tex>$$f_3(t) = 36\log(t+100) - 0,8\sin (\frac{2\pi (t+0,24)}{14}) + 0,5\sin (\frac{2\pi (t-0,35)}{8})$$</tex>
+
<tex>$$f_3(t) = 36\log(t+100) - 0,8\sin (\frac{2\pi (t+0,24)}{14}) + 0,5\sin \left(\frac{2\pi (t-0,35)}{8}\right),$$</tex>
-
<tex>$$t = 1, 2, \ldots, 250$$</tex>
+
где <tex>$$t = 1, 2, \ldots, 250$$</tex>
-
В этом случае 2-я и 3-я главная компонента будет соответствовать той периодике, которую мы не изменили: (все графики соответствуют первому временному ряду)
+
В этом случае 2-я и 3-я главная компонента будет соответствовать той периодике, которую мы не изменили.
-
[[Изображение:model21.png|800px]]
+
5-я и 6-я соответствует первой половине изменённой компоненты:
-
 
+
-
5-я и 6-я - первой половине изменённой компоненты:
+
[[Изображение:model22.png|800px]]
[[Изображение:model22.png|800px]]
Строка 145: Строка 149:
1-я, 2-я и 9-я отвечают тренду:
1-я, 2-я и 9-я отвечают тренду:
-
 
-
[[Изображение:model25.png|800px]]
 
Таким образом, алгоритм устойчив к нарушениям периодичности - разным участкам временного ряда соответствуют различные главные компоненты.
Таким образом, алгоритм устойчив к нарушениям периодичности - разным участкам временного ряда соответствуют различные главные компоненты.
 +
=== Выбросы ===
Посмотрим поведение алгоритма в случае наличия выбросов. Мы добавили выброс в среднем в каждую 50-ю точку временного ряда. Первое собственное число в этом случае на несколько порядков больше остальных, график логарифмов собственных чисел со 2-го по 20-е представлен ниже:
Посмотрим поведение алгоритма в случае наличия выбросов. Мы добавили выброс в среднем в каждую 50-ю точку временного ряда. Первое собственное число в этом случае на несколько порядков больше остальных, график логарифмов собственных чисел со 2-го по 20-е представлен ниже:
Строка 157: Строка 160:
[[Изображение:model27.png|800px]]
[[Изображение:model27.png|800px]]
 +
 +
=== Реальные данные ===
 +
 +
Рассмотрим ежемесячные данные о покрытии полушарий Солнца пятнами с 1876 года.
 +
 +
Для северного полушария:
 +
 +
[[Изображение:real2.png|800px]]
 +
 +
Используем гусеницу длины 250.
 +
 +
2-я и 3-я компоненты соответствуют 12-летним солнечным циклам:
 +
 +
[[Изображение:real4.png|800px]]
 +
 +
Автор статьи не смог интерпретировать остальные главные компоненты. Однако субъективно первые шесть главных вполне адекватно характеризуют солнечную активность и могут быть использованы для прогноза.
 +
 +
== См. также ==
 +
 +
* [[Временной ряд]]
 +
* [[Метод главных компонент]]
 +
* [http://www.gistatgroup.com/gus/index.html Сайт, посвящённый методу Гусеницы]
 +
* [http://strijov.com/sources/demo_ssa_forecast.php Простой пример прогноза]
 +
[[Категория:Прогнозирование временных рядов]]
 +
 +
== Литература ==
 +
 +
* А. А. Жиглявский, В. Н. Солнцев: "Главные компоненты временных рядов: метод "Гусеница"
 +
* Vladimir Nekrutkin, Anatoly Zhigljavsky: "Analysis of Time Series Structure: SSA and Related Techniques".
 +
{{ЗаданиеВыполнено|Илья Фадеев|В.В.Стрижов|28 мая 2010}}
 +
[[Категория:Практика и вычислительные эксперименты]]

Текущая версия

SSA (Singular Spectrum Analysis, "Гусеница") - метод анализа и прогноза временных рядов. Базовый вариант метода состоит в:

1) преобразовании одномерного ряда в многомерный с помощью однопараметрической сдвиговой процедуры (отсюда и название "Гусеница");

2) исследовании полученной многомерной траектории с помощью анализа главных компонент (сингулярного разложения);

3) восстановлении (аппроксимации) ряда по выбранным главным компонентам.

Таким образом, результатом применения метода является разложение временного ряда на простые компоненты: медленные тренды, сезонные и другие периодические или колебательные составляющие, а также шумовые компоненты. Полученное разложение может служить основой прогнозирования как самого ряда, так и его отдельных составляющих. "Гусеница" допускает естественное обобщение на многомерные временные ряды, а также на случай анализа изображений. В данной статье рассмотрим вариант алгоритма, предназначенный для анализа многомерного временного ряда. Алгоритм содержит два входных параметра длину гусеницы и число ее компонент, выбор которых существенно влияет на результат работы алгоритма.

Содержание

Постановка задачи

Наблюдается система функций дискретного аргумента {$(f_i^{(k)})_{i=1}^N$, где k = 1, ..., s}. s - число временных рядов, k - номер ряда, N - длина временного ряда, i - номер отсчета. Требуется разложить ряд в сумму компонент (используя метод главных компонент, см. описание алгоритма), интерпретировать каждую компоненту, и построить продолжение ряда $(f_i^{(k)})_{i=1}^{N+M}$ по выбранным компонентам.

Описание алгоритма

Построение матрицы наблюдений

Рассмотрим сначала одномерный временной ряд $(f_i)_{i=1}^N.$ Выберем n такое, что $0 < n \le N - 1$ - время жизни многомерной гусеницы. Пусть $\sigma = N - n + 1$ - длина гусеницы. Построим последовательность из n векторов в $R^{\sigma}$ следующего вида:

Y^{(l)} \in R^{\sigma}, Y^{(l)} = (f_{i+l-1})_{i=1}^{\sigma}

Обозначим

$$Z = (Y^{(1)}, \ldots, Y^{(n)}):$$

Изображение:Newpic7.png


Будем называть $Z$ нецентрированной матрицей наблюдений, порождённой гусеницей со временем жизни n.

В случае многомерного временного ряда матрицей наблюдения называется столбец из матриц наблюдений, соответствующих каждой из компонент.

Проводимый в дальнейшем анализ главных компонент может проводиться как по центрированной, так и по нецентрированной выборкам. Для упрощения выкладок рассмотрим простейший нецентрированный вариант.

Анализ главных компонент

Рассмотрим ковариационную матрицу полученной выборки:

$$C = \frac1n ZZ^T.$$

Выполним её svd-разложение:

$$C = V\Lambda V^T,$$

где $\Lambda = diag(\lambda_1, \ldots, \lambda_{\tau})$ - диагональная матрица собственных чисел, $V = (v^{(1)}, \ldots, v^{(\tau)})$, $(v^{(i)})^T v^{(j)} = \delta_{ij}$ - ортогональная матрица собственных векторов.

Далее рассмотрим систему главных компонент:

$$U = V^T Z, U = (U^{(1)}, \ldots, U^{(\tau)})^T.$$

После проведения анализа главных компонент обычно предполагается проведение операции восстановления исходной матрицы наблюдений по некоторому поднабору главных компонент, т. е. для $V' = (v^{(i_1)}, \ldots, v^{(i_r)})$ и $U' = V'^T Z$ вычисляется матрица $Z' = V'U'$.

Далее восстанавливаются исходные последовательности. В одномерном случае i-ая компонента восстановленного ряда есть среднее значение по i-ой диагонали восстановленной матрицы наблюдений Z':

Изображение:Newpic6.png

В многомерном случае усреднение проводится с учётом того, что матрица наблюдений состоит из подматриц, соответствующих каждой компоненте ряда:

$$f'_m^{(k)} = \left\{ \begin{array}{ll} \frac1m \sum_{i=1}^m x_i^{(m-i+1,k)}&1\le m\le \sigma,\\ \frac{1}{\sigma} \sum_{i=1}^{\sigma} x_i^{(m-i+1,k)}&\sigma \le m \le n,\\ \frac{1}{N-m+1} \sum_{i=1}^{N-m+1} x_{i+m-n}^{(n-i+1,k)}&n \le m \le N.\end{array} \right$$

Прогноз

Числовой ряд (f_i)_{i=1}^{N+1} называется продолжением ряда (f_i)_{i=1}^N, если порождаемая им при гусеничной обработке выборка лежит в той же гиперплоскости, что и у исходного ряда. Пусть у нас есть некоторый набор выбранных главных компонент i_1, i_2, \ldots, i_r. Определим

$$w = \left ( \begin{array}{cccc} v_{\sigma}^{(i_1)}&v_{\sigma}^{(i_2)}&\ldots&v_{\sigma}^{(i_r)}\\ v_{2\sigma}^{(i_1)}&v_{2\sigma}^{(i_2)}&\ldots&v_{2\sigma}^{(i_r)}\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ v_{\tau}^{(i_1)}&v_{\tau}^{(i_2)}&\ldots&v_{\tau}^{(i_r)}\end{array} \right ) $$

и

$$ V_* = \left ( \begin{array}{cccc} v_1^{(i_1)}&v_1^{(i_2)}&\ldots&v_1^{(i_r)}\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ v_{\sigma - 1}^{(i_1)}&v_{\sigma - 1}^{(i_2)}&\ldots&v_{\sigma - 1}^{(i_r)}\\ v_{\sigma + 1}^{(i_1)}&v_{\sigma + 1}^{(i_2)}&\ldots&v_{\sigma + 1}^{(i_r)}\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ v_{2\sigma - 1}^{(i_1)}&v_{2\sigma - 1}^{(i_2)}&\ldots&v_{2\sigma - 1}^{(i_r)}\\ \vdots& \vdots &\ddots & \vdots\\ v_{\tau - 1}^{(i_1)}&v_{\tau - 1}^{(i_2)}&\ldots&v_{\tau - 1}^{(i_r)}\end{array} \right ) $$

Также положим

$$Q = \left (f_{N-\sigma+2}^{(1)}, \ldots, f_N^{(1)}, f_{N-\sigma+2}^{(2)}, \ldots, f_N^{(2)}, \ldots, f_{N-\sigma+2}^{(s)}, \ldots, f_N^{(s)}\right )^T$$

Тогда прогнозируемые значения системы в точке $N+1$ вычисляются по формуле:

$$f_{N+1} = w(V_*^T V_*)^{-1} V_*^T Q.$$

Численный эксперимент

Модельные данные

Рассмотрим трёхмерный временной ряд, заданный формулами:

$$f_1(t) = 0,08t + 0,9\sin (\frac{2\pi t}{11}) + 0,8\sin \left(\frac{2\pi (t+0,09)}{8}\right),$$

$$f_2(t) = 0,0001t^2 - 0,05t + 0,6\sin (\frac{2\pi (t-0,14)}{11}) + \cos \left(\frac{2\pi t}{8}\right),$$

$$f_3(t) = 36\log(t+100) - 1,2\sin (\frac{2\pi (t+0,24)}{11}) + 0,5\sin \left(\frac{2\pi (t-0,35)}{8}\right),$$

где $$t = 1, 2, \ldots, 250$$

Кроме тренда (линейная, квадратичная функции и логарифм соответственно) в ряды добавлены две периодические составляющие (синусоиды с различными амплитудами и фазами). Также во временные ряды добавлен шум со среднеквадратичным отклонением 0,5:

Исследуем главные компоненты данного временного ряда, используя гусеницу длины 50.

Логарифмы первых двадцати собственных чисел ковариационной матрицы:

Из графика видно, что содержательный смысл несут, вероятно, первые семь главных компонент, а остальные, скорее всего, шум.

Паре близких собственных чисел соответствуют главные компоненты, отвечающие одной частоте. Отложим на одном графике главные векторы, отвечающие 3-му и 4-му собственным числам. Покажем, что они кореллируют и соответствуют периодической составляющей с периодом 11:

Восстановив временной ряд (на рисунке изображён первый из трёх) по этим двум главным компонентам, убеждаемся в этом:

Аналогично, 5-му и 6-му собственным числам соответствует периодическая составляющая с периодом 8.

1-я, 2-я и 7-я главная компоненты отвечают за тренд:

Восстановим ряд по остальным главным компонентам, предполагая их шумовыми:

Спрогнозируем временной ряд на 50 единиц вперёд по первым семи главным компонентам:

Видим, что прогноз вполне адекватен.

Нарушения периодичности ряда

Посмотрим, как отреагирует алгоритм на нарушение периодичности временного ряда. Во второй половине временного ряда изменим частоту, амплитуду и фазу одной из периодик:

$$f_1(t) = 0,08t + 0,6\sin (\frac{2\pi t}{14}) + 0,8\sin \left(\frac{2\pi (t+0,09)}{8}\right),$$

$$f_2(t) = 0,0001t^2 - 0,05t + 0,45\sin (\frac{2\pi (t-0,14)}{14}) + \cos \left(\frac{2\pi t}{8}\right),$$

$$f_3(t) = 36\log(t+100) - 0,8\sin (\frac{2\pi (t+0,24)}{14}) + 0,5\sin \left(\frac{2\pi (t-0,35)}{8}\right),$$

где $$t = 1, 2, \ldots, 250$$

В этом случае 2-я и 3-я главная компонента будет соответствовать той периодике, которую мы не изменили.

5-я и 6-я соответствует первой половине изменённой компоненты:

7-я и 8-я - второй её половине:

1-я, 2-я и 9-я отвечают тренду:

Таким образом, алгоритм устойчив к нарушениям периодичности - разным участкам временного ряда соответствуют различные главные компоненты.

Выбросы

Посмотрим поведение алгоритма в случае наличия выбросов. Мы добавили выброс в среднем в каждую 50-ю точку временного ряда. Первое собственное число в этом случае на несколько порядков больше остальных, график логарифмов собственных чисел со 2-го по 20-е представлен ниже:

Восстанавливая ряд по первым 16-ти главным компонентам, видим, что алгоритм работает некорректно:

Реальные данные

Рассмотрим ежемесячные данные о покрытии полушарий Солнца пятнами с 1876 года.

Для северного полушария:

Используем гусеницу длины 250.

2-я и 3-я компоненты соответствуют 12-летним солнечным циклам:

Автор статьи не смог интерпретировать остальные главные компоненты. Однако субъективно первые шесть главных вполне адекватно характеризуют солнечную активность и могут быть использованы для прогноза.

См. также

Литература

  • А. А. Жиглявский, В. Н. Солнцев: "Главные компоненты временных рядов: метод "Гусеница"
  • Vladimir Nekrutkin, Anatoly Zhigljavsky: "Analysis of Time Series Structure: SSA and Related Techniques".
Данная статья была создана в рамках учебного задания.
Студент: Участник:Илья Фадеев
Преподаватель: Участник:В.В.Стрижов
Срок: 28 мая 2010


В настоящее время задание завершено и проверено. Данная страница может свободно правиться другими участниками проекта MachineLearning.ru.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BE%D0%B2_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%BC_SSA_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»
Личные инструменты