Построение интегральных индикаторов по ранговым признакам (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 22:45, 14 декабря 2010

Аннотация

В данной работе описывается подход к построению интегрального индикатора для множества объектов, характеризуемых признаками, выраженными в ранговых шкалах. В качестве интегрального индикатора предлагается рассматривать бинарное отношение на множестве объектов, позволяющее сравнивать объекты между собой. Бинарное отношение строится на основании признакового описания объектов и информации о важности каждого признака, задаваемой экспертами. Подход продемонстрирован на работе алгоритма уточнения экспертной информации.

Ключевые слова: интегральный индикатор, экспертное оценивание, ранговые шкалы, бинарные отношения.

Постановка задачи

Пусть $X$ - пространство объектов, ${\{x_i\}}_{i=1}^{m}\subset X$ - выборка объектов. Каждый объект $x\in X$ характеризуется набором ранговых признаков ${\{f_j\}}_{j=1}^{n}$ .

Пусть признаковое описание объектов задается в виде матрицы $A$ размера $m \times n$ , где $a^{ik}$ - место i-го объекта в списке, отсортированном по убыванию k-го признака.

Два объекта $x_i$ и $x_j$ при векторе весов признаков $\mathbf w$ сравниваются следующим образом.

$x_i$ не хуже $x_j$ , если $({\mathbf u}^{ij})^{T}{\mathbf w} \geq 0,$ где ${u}^{ij}_k = 1$ , если i-й объект не хуже j-го по k-му признаку, и ${u}^{ij}_k = -1$ в противном случае.

Вектор $\mathbf w$ нормирован $\sum_{k=1}^{n} w_k=1$ .

Введенное бинарное отношение - интегральный индикатор, соответствующий вектору весов признаков $\mathbf w$ .

Вектору $\mathbf w$ соответствует матрица попарных сравнений $Q(A,{\mathbf w})$ размера $m \times m$ , где $q^{ij}=1$ , когда i-й объект не хуже j-го при указанном сравнении и $q^{ij}=-1$ в противном случае.

$q^{ii}=1$ - всегда.

Пусть правильный порядок объектов задается с помощью матрицы $Q_0$ попарных сравнений по желаемому интегральному индикатору.

Пусть функционал потерь

$L(Q^0,A,{\mathbf w}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \frac{|q^{0}_{ij} - q_{ij}(A,{\mathbf w})|}2$

Такой функционал потерь равен числу нарушений порядка в списке, отсортированном по текущему интегральному индикатору, по сравнению с правильным порядком.

Тогда задача формулируется следующим образом.

Дано: ${\{x_i\}}_{i=1}^{m},A,Q^0$ начальное приближение $\mathbf w^0$ .

Найти: такой вектор $\mathbf w^{\mbox {opt}}~\in~\mathcal{W}~=~\{{\mathbf w}~\in~\mathbb{R}^{n}|\sum_{k=1}^n w_{k}~=~1\}$ , что

${\mathbf w}^{\mbox {opt}} = \arg \min_{{\mathbf w}\in \mathcal{W}} L$ .

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Александр Фирстенко

Преподаватель: В.В.Стрижов

Срок: 24 декабря 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2_%D0%BF%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D0%BC_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B0%D0%BC_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»

Категории: Непроверенные учебные задания | Практика и вычислительные эксперименты

@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 Введенное бинарное отношение - интегральный индикатор, соответствующий вектору весов признаков <tex>\mathbf w</tex>.
-Вектору <tex>\mathbf w</tex> соответствует матрица попарных сравнений  <tex>Q(A,{\mathbf w})</tex> размера <tex>m \times m</tex>, где <tex>q^{ij}=1</tex>, когда i-й объект не хуже j-го при указаном сравнении и <tex>q^{ij}=-1</tex> в противном случае.
+Вектору <tex>\mathbf w</tex> соответствует матрица попарных сравнений  <tex>Q(A,{\mathbf w})</tex> размера <tex>m \times m</tex>, где <tex>q^{ij}=1</tex>, когда i-й объект не хуже j-го при указанном сравнении и <tex>q^{ij}=-1</tex> в противном случае.
 <tex>q^{ii}=1</tex> - всегда.

Построение интегральных индикаторов по ранговым признакам (пример)

Материал из MachineLearning.

Версия 22:45, 14 декабря 2010

Аннотация

Постановка задачи

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты