Прогнозирование временных рядов методом SSA (пример)
Материал из MachineLearning.
(→Описание алгоритма) |
(→Описание алгоритма) |
||
| Строка 12: | Строка 12: | ||
== Описание алгоритма == | == Описание алгоритма == | ||
Выберем n такое, что <tex>$0 < n \le N - 1$</tex> - время жизни многомерной гусеницы. Пусть <tex>$\sigma = N - n + 1$</tex> - длина гусеницы. Построим последовательность из n векторов в <tex>$R^{\\tau}$</tex>, <tex>$\tau = s*\sigma$</tex>, следующего вида: | Выберем n такое, что <tex>$0 < n \le N - 1$</tex> - время жизни многомерной гусеницы. Пусть <tex>$\sigma = N - n + 1$</tex> - длина гусеницы. Построим последовательность из n векторов в <tex>$R^{\\tau}$</tex>, <tex>$\tau = s*\sigma$</tex>, следующего вида: | ||
| - | <tex>$$Y^{(l)} \in R^\tau, Y^{(l)} = (X^{(l,1)}, \ldots, X^{(l,s)})^T,$</tex> | + | <tex>$$Y^{(l)} \in R^\tau, Y^{(l)} = (X^{(l,1)}, \ldots, X^{(l,s)})^T,$$</tex> |
| + | где <tex>$X^{(l,k)} = (f_{i+l-1}^{(k)})_{i=1}^{\sigma}$</tex>. Обозначим | ||
| + | <tex>$$Z = (Y^{(1)}, \ldots, Y^{(n)}).$$</tex> | ||
| + | Будем называть <tex>$Z$</tex> нецентрированной матрицей наблюдений, порождённой гусеницей со временем жизни n. Проводимый в дальнейшем анализ главных компонент может проводиться как по центрированной, так и по нецентрированной выборкам. Для упрощения выкладок рассмотрим простейший нецентрированный вариант. | ||
| + | Рассмотрим ковариационную матрицу полученной многомерной выборки | ||
| + | <tex>$$C = 1\frac1n ZZ^T.$$</tex> | ||
Версия 11:54, 5 мая 2010
SSA (Singular Spectrum Analysis, "Гусеница") - метод анализа и прогноза временных рядов. Базовый вариант метода состоит в преобразовании одномерного ряда в многомерный с помощью однопараметрической сдвиговой процедуры (отсюда и название "Гусеница"), исследовании полученной многомерной траектории с помощью анализа главных компонент (сингулярного разложения) и восстановлении (аппроксимации) ряда по выбранным главным компонентам. Таким образом, результатом применения метода является разложение временного ряда на простые компоненты: медленные тренды, сезонные и другие периодические или колебательные составляющие, а также шумовые компоненты. Полученное разложение может служить основой прогнозирования как самого ряда, так и его отдельных составляющих. "Гусеница" допускает естественное обобщение на многомерные временные ряды, а также на случай анализа изображений. В данной статье рассмотрим вариант алгоритма, предназначенный для анализа многомерного временного ряда.
Постановка задачи
Наблюдается система функций дискретного аргумента {, где k = 1, ..., s}. Параметр s, таким образом, имеет смысл размерности многомерной числовой последовательности, а N - количество элементов в последовательности. Требуется разложить ряд в сумму компонент (используя метод главных компонент, см. описание алгоритма), интерпретировать каждую компоненту, и построить продолжение ряда
по выбранным компонентам.
Описание алгоритма
Выберем n такое, что - время жизни многомерной гусеницы. Пусть
- длина гусеницы. Построим последовательность из n векторов в
,
, следующего вида:
где
. Обозначим
Будем называть
нецентрированной матрицей наблюдений, порождённой гусеницей со временем жизни n. Проводимый в дальнейшем анализ главных компонент может проводиться как по центрированной, так и по нецентрированной выборкам. Для упрощения выкладок рассмотрим простейший нецентрированный вариант.
Рассмотрим ковариационную матрицу полученной многомерной выборки
