Шаговая регрессия (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 22:59, 24 апреля 2010

Содержание

1 Шаговая регрессия (stepwise regression)
2 Постановка задачи
3 Описание алгоритма
4 Остановка алгоритма
5 Вычислительный эксперимент
- 5.1 Пример 1
- 5.2 Пример 2
6 График 1
7 График 2
8 График 3
9 График 4
10 График 5

Логистическая регрессия - частный случай обобщенной линейной регрессии. Предполагается, что зависимая переменная принимает два значения и имеет биномиальное распределение

В данной статье рассматриваются два алгоритма отбора признаков линейной регрессии: метод наименьших углов и шаговая регрессия.

Метод наименьших углов (англ. least angle regression, LARS) - алгоритм отбора признаков в задачах линейной регрессии. При большом количестве свободных переменных возникает проблема неустойчивого оценивания весов модели. LARS предлагает метод выбора такого набора свободных переменных, который имел бы наиболее значимую статистическую связь с зависимой переменной. Также LARS предлагает метод оценки весов.

Шаговая регрессия (stepwise regression)

Цель пошаговой регрессии состоит в отборе из большого количества предикатов небольшой подгруппы переменных, которые вносят наибольший вклад в вариацию зависимой переменной.

Пусть нам задана регрессионная модель

$y= f(\beta, x) +\mathbf{\varepsilon}$ .

Алгоритм заключается в последовательном добавлении и удалении признаков согласно определённому критерию. Обычно используется $F$ -критерий, который имеет вид

$F={\frac{S_1-S_2}{S_2}}{\frac{m-p_2}{p_1-p_2}$

где индекс 2 соответствует второй регрессионной модели , индекс 1 соответствует первой регрессионной модели, которая является модификацией второй модели; $p_1, p_2$ - соответствующие числа параметров модели; $S$ - сумма квадратов невязок, задающий критерий качества модели:

$S=\sum_{i} {(y^i-f(\beta, x^i))^2$ .

Шаговая регрессия включает два основных шага: шаг Add (последовательное добавление признаков) и шаг Del (последовательное удаление признаков).

Постановка задачи

Задана выборка - матрица $X$ , столбцы которой соответствуют независимым переменным, а строки - элементам выборки и вектор $\mathbf{y}$ , содержащий элементы зависимой переменной. Назначена линейная модель $\mathbf{y}=X\mathbf{\beta}+\mathbf{\varepsilon}$ .

Требуется найти набор признаков (столбцов матрицы $X$ ) , удовлетворяющий $F$ -критерию.

Описание алгоритма

Обозначим текущий набор признаков $A$ . Начальным набором является пустой набор $A= \emptyset$ . К текущему набору $A$ присоединяется по одному признаку, который дoставляет максимум $F$ -критерию или

$j^*= arg \max_{j\in J}F_add= arg \max_{j\in J}{\frac{S(A)-S(A\cup x^j)}{S(A\cup x^j)}}$

Добавляется несколько признаков, пока значение критерия на шаге не станет меньше заданного $F_1$ . Затем признаки удаляются по одному так, чтобы значение $F$ -критерия было минимально:

$j^*= arg \min_{j\in J}F_del= arg \min_{j\in J}{\frac{S(A/x^j)-S(A)}{S(A)}}$

Признаки удаляются , пока значение F-критерия на шаге не станет больше заданного критического значения $F_2$ .

Критические значения $F_1$ и $F_2$ для каждого шага определяются по таблице Фишера c заданным уровнем значимости $\alpha$ со степенями свободы $p_1 - p_2$ и $m - p_2$ .

Остановка алгоритма

Останов алгоритма производится при достижении заданного минимума критерием Маллоуза $C_p$ :

$C_p= {\frac{S}{MSE}} +2k - m$ ,

где $MSE= {\frac{S_n}{n}}$ - среднеквадратичная ошибка, вычисленная для модели, настроенной методом наименьших квадратов на всем множестве признаков, $k$ - сложность модели.

Критерий штрафует модели с большим количеством признаков. Минимизация критерия позволяет найти множество, состоящее из значимых признаков.

Вычислительный эксперимент

Показана работа алгоритмов в серии задач, основанных как на реальных, так и на модельных данных.

Пример 1

Рассмотрим пример на модельных данных. Сравним два алгоритма: Метод наименьших углов и Шаговую регрессию. Назначена линейная модель, выборка состоит из 20 объектов и 10 признаков. По оси абсцисс показаны номера признаков, по оси ординат- параметры, полученные при использовании Метода наименьших углов. Красным цветом обозначены признаки, выбранные при помощи Шаговой регрессии. Мы видим, что Шаговой регрессией были выбраны 4 признака, которым алгоритмом Lars были присвоены наибольшие значения параметров $\beta$ .

Пример 2

Рассмотрим пример на реальных данных : данные по кредитованию одним из немецких банков . Проведем проверку алгоритма на задаче из репозитория UCI: Statlog (German Credit Data) Data Set . Объектами являются анкеты людей, желавших получить кредит в банке. Изначально анкеты содержали 20 пунктов, таких как состояние банковского счета заемщика, информация о его кредитной истории, цель займа, величина займа, возраст заемщика, время с момента трудоустройства на текущее место работы и другие. Но так как некоторые из них не были числовыми, а многие алгоритмы (в том числе рассматриваемый в данной статье) работают только с числовыми признаками, то из 20 разнородных признаков было составлено 24 числовых. В выборке представлено 256 объектов.

График 1

На графике показана зависимость критерия Маллоуза от количества признаков. Алгоритмом Stepwise было выбрано 13 признаков.

График 2

Аналогично примеру 1 сравним два алгоритма. По оси абсцисс показаны номера признаков, по оси ординат- параметры, полученные при использовании Метода наименьших углов. Красным цветом обозначены признаки, выбранные при помощи Шаговой регрессии. В отличие от первого примера на модельных данных, Шаговой регрессией были выбраны несколько признаков, которым Lars присвоил параметры, близкие к нулю. Одним из недостатков метода Шаговой регрессии является то, что важная переменная может быть никогда не включена в модель, а второстепенные признаки будут включены.

График 3

Сравним для двух моделей значения критерия Маллоуза, критерия Акаике и критерия SSE(сумма квадратов регрессионных остатков). Сплошной линией показаны критерии для Шаговой регрессии, пунктирной- для Метода наименьших углов.

График 4

На графике показана зависимость значения критерия Маллоуза от количества признаков для обучающей и тестовой выборки. В качестве обучающей выборки были выбраны 200 объектов, в качестве тестовой- остальные 56. График для Шаговой регрессии.

График 5

Источник — «http://poligon.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A8%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»