Просмотр

Материал из MachineLearning.

У вас нет прав на выполнение этой операции по следующим причинам:

• Запрошенное действие могут выполнять только участники из групп emailconfirmed, Администраторы.
• Вы должны подтвердить ваш адрес электронной почты перед правкой страниц. Пожалуйста, введите и подтвердите ваш адрес эл. почты на странице настроек.

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы:

'''Метод наименьших квадратов с итеративным пересчётом весов''' (IRLS) - алгоритм, использующийся для решения некоторых оптимизационных задач. В частности, с помощью этого метода можно решать задачи вида: ::<tex> \mathrm{arg}\min_{\beta} \sum_{i=1}^n w_i(\beta)| y_i - f_i (\beta) | ^ 2 </tex> Алгоритм является итеративным. На каждом шаге алгоритма решается задача [http://en.wikipedia.org/wiki/Weighted_least_squares#Weighted_least_squares Взвешенных наименьших квадратов]: ::<tex> \beta ^ {(t + 1)} = \mathrm{arg}\min_{\beta} \sum_{i=1}^n w_i(\beta ^ {(t)})| y_i - f_i (\beta) | ^ 2 </tex> =Описание алгоритма= Пусть нужно найти приближенное решение уравнения <tex>Ax = b</tex>, где <tex>A = (a_{ij})</tex> - матрица размера m*n, <tex> x = (x_1,...,x_n),\ y = (y_1,..., y_m)</tex><br /> Первый шаг алгоритма- это идентификация весов. В начале начале матрице весов ''W'' берется за единичную <tex>W \equiv I</tex>, и методом взвешанных наименьших квадратов ищется решения следующей задачи : ::<tex>WAx = Wy</tex> Получаем некоторый вектор <tex>\tilde x</tex> и вычисляем невязку : ::<tex>r = b - A\tilde x</tex>, по которой происходит пересчет матрицы весов <tex>W</tex> с помощью некоторой неотрицательной функции <tex>f(r)</tex>. Например, можно взять <tex>f(r) = \frac 1 {|r|}</tex> : ::<tex>W = diag (f(r))</tex> После этого, опять решаем уравнение <tex>WAx = Wy</tex>, но уже с пересчитанными весами. Процесс повторяется до тех пор, пока вектор весов не стабилизируется. <br /> Решение, к которому сходится этот итеративный процесс- это минимизация некоторой функции, связанной с функцией <tex>f (x)</tex>. Например, если взять функцию <tex>f (x) = \frac 1 {|r|}</tex>, то будет минимизироваться функция <tex>\sum_i |r_i|</tex>. =Сходимость алгоритма= Алгоритм сходится не всегда. Например, выбор в качестве функции <tex>f (x) = |r| ^ p</tex>, где <tex>p \in (-1, 1]</tex> может привести к зацикливанию, и алгоритм, таким образом, не сойдется. =Пример работы алгоритма= Приведем пример работы алгоритма для решения задач [[логистическая регрессия|логистической регрессии]]. Пусть задано пространство объектов X и множество возможных ответов Y. Существует неизвестная целевая зависимость y* : X → Y , значения которой известны только на объектах обучающей выборки <tex> X^l = (x_i, y_i)_{i=1}^n, y_i = y*(x_i)</tex>. Требуется построить алгоритм a: X → Y ,аппроксимирующий целевую зависимость y∗. Определим функционал качества аппроксимации целевой зависимости на выборке <tex>X^l</tex> как : ::<tex>Q(w, X^l) = \sum_{i=1}^n ln \sigma(-w^T x_i y_i)</tex>, где <tex>\sigma(z) = (1 + exp{-z})^{-1}</tex> - сигмоидная функция. Примененим метод Ньютона-Рафсона для минимизации нелинейного функционала Q(w): ::<tex>w ^ {t + 1} = w ^ t + h_t (Q''(w^t))^{-1} Q'(w^t)</tex>, где <tex>Q'(w^t)</tex> - вектор первых производных (градиент) функционала Q(w) в точке <tex>w^t</tex>, <tex>Q''(w^t)</tex> - матрица вторых производных (гессиан) функционала Q(w) в точке <tex>w^t</tex>, <tex>h_t</tex> - величина шага. Обозначим <tex>\sigma_i = \sigma(y_i w^T x_i)</tex> и заметим, что производная сигмоидной функции есть <tex>\sigma'(z) = \sigma(z)(1 - \sigma(z))</tex>.<br /> Элементы градиента (вектора первых производных) функционала Q(w):<br /> ::<tex>\frac {\partial Q (t)} {\partial w_j} = -\sum_{i = 1} ^ l (1 - \sigma_i) y_i f_j (x_i),\ j = 1,...,n.</tex> Элементы гессиана (матрицы вторых производных) функционала Q(w):<br /> ::<tex>\frac {\partial ^ 2 Q (t)} {\partial w_j \partial w_k} = - \frac {\partial} {\partial w_k} \sum_{i = 1} ^ l (1 - \sigma_i) y_i f_j (x_i) = \sum_{i = 1} ^ l (1 - \sigma_i) \sigma_i f_j (x_i) f_l (x_i),\ j = 1,...,n,\ k = 1,...,n</tex> Введём матричные обозначения:<br /> ::<tex>F_{l * n} = f_j(x_i)</tex> - матрица признаковых описаний объектов; <br /> ::<tex>\Gamma_{l * l} = diag ( sqrt{(1 - \sigma_i)\sigma_i} )</tex> - диагональная матрица весов объектов;<br /> ::<tex>\tilde F = \Gamma F </tex> - взвешенная матрица признаковых описаний объектов;<br /> ::<tex>\tilde y_i = y_i sqrt {(1 - \sigma_i)\sigma_i}</tex> - взвешенный вектор ответов. В этих обозначениях произведение матрицы, обратной к гессиану, на вектор градиента принимает следующий вид:<br /> ::<tex>(Q''(w^t))^{-1} Q'(w^t) = -(F^T \Gamma ^ 2 F) ^ {-1} F^T \Gamma \tilde y = -(\tilde F ^ {T} \tilde F) ^ {-1} \tilde F^{T} \tilde y = -\tilde F ^ + \tilde y</tex> Таким образом, получается, что на каждой итерации вектор весов ''w'' ищется по следующей формуле : ::<tex>w ^ {t+1} = w ^ t + h_t * (\tilde F ^ {T} \tilde F) ^ {-1} \tilde F^{T} \tilde y </tex> Легко заметить, что полученное выражение совпадает с решением задачи наименьших квадратов для многомерной линейной регрессии со взвешенными объектами и модифицированными ответами: ::<tex>Q(w) = || \tilde F w - \tilde y|| ^ 2</tex> Таким образом, решение задачи классификации сводится к последовательности регрессионных задач, для каждой из которых веса объектов и ответы пересчитываются заново. Т.е. в данном случае мы применяем алгоритм IRLS. =Литература= Ф.П. Васильев Численные методы решения экстремальных задач - М.: Наука, 1980. — 307 с.<br /> К.В. Воронцов Лекции по алгоритмам восстановления регрессии =Ссылки= [http://en.wikipedia.org/wiki/Iteratively_reweighted_least_squares Wikipedia: Iteratively reweighted least squares]<br /> [http://www.wikidoc.org/index.php/Iteratively_re-weighted_least_squares Wicidoc: Iteratively re-weighted least squares]<br /> [http://mmphome.1gb.ru/data/doc/4course/mfft/lecture1.pdf Ю. И. Журавлев, Д. П. Ветров: Обобщенные Линейные Модели: Метод IRLS] [[Категория:Машинное обучение]] {{Задание|Сидоров Юрий|Константин Воронцов|7 января 2010}}

• Шаблон:Mbox
• Шаблон:Stop
• Шаблон:Tlp
• Шаблон:Задание

Возврат к странице Метод наименьших квадратов с итеративным пересчётом весов.